Teste a série quanto a convergência ou divergência.
10. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}}{5^{n}+n}

Passo 1

O enunciado pede testar a convergência da série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{5^n + n}.
O conteúdo envolve testes de convergência de séries numéricas, e vamos usar o critério da razão (também chamado de critério de d’Alembert).

Passo 2

Definimos o termo geral
a_n = \frac{3^n}{5^n + n}
e lembramos que o critério da razão diz para calcular
L = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
Se L < 1, a série converge absolutamente (e, portanto, converge).

Passo 3

Vamos calcular
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{3^{n+1}}{5^{n+1}+n+1}}{\frac{3^n}{5^n+n}} = 3 \,\frac{5^n + n}{5^{n+1} + n + 1} = 3 \,\frac{5^n + n}{5\cdot 5^n + n + 1}.
Fatorando 5^n em numerador e denominador, obtemos
\frac{a_{n+1}}{a_n} = 3 \,\frac{5^n\bigl(1 + \tfrac{n}{5^n}\bigr)}{5^n\bigl(5 + \tfrac{n+1}{5^n}\bigr)} = 3 \,\frac{1 + \tfrac{n}{5^n}}{5 + \tfrac{n+1}{5^n}}.
Como \tfrac{n}{5^n}\to0 e \tfrac{n+1}{5^n}\to0 quando n\to\infty, vem
L = \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 3 \,\frac{1 + 0}{5 + 0} = \frac{3}{5}.

Passo 4

Como L = \tfrac{3}{5} < 1, pelo critério da razão a série \sum a_n converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{5^n + n} converge.

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