Teste a série quanto a convergência ou divergência.
10. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}}{5^{n}+n}
Passo 1
O enunciado pede testar a convergência da série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{5^n + n}.
O conteúdo envolve testes de convergência de séries numéricas, e vamos usar o critério da razão (também chamado de critério de d’Alembert).
Passo 2
Definimos o termo geral
a_n = \frac{3^n}{5^n + n}
e lembramos que o critério da razão diz para calcular
L = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
Se L < 1, a série converge absolutamente (e, portanto, converge).