Teste a série quanto a convergência ou divergência.
7.
7.
Passo 1
O enunciado nos pede para testar a convergência da série
O conteúdo principal aqui é o critério de Leibniz para séries alternantes, acompanhado do teste da integral para verificar a divergência da série de termos absolutos.
Passo 2
Aplicamos o critério de Leibniz. Definimos
(i) Primeiro,
pois o denominador cresce sem limite.
(ii) Em seguida, observamos que é decrescente para
, já que a função contínua
(ii) Em seguida, observamos que
tem derivada negativa quando
.
Como ,
e
, a série alternante converge pelo critério de Leibniz.
Como
Passo 3
Para verificar se a convergência é absoluta, consideramos
Pelo teste da integral,
logo a série de termos positivos diverge. Portanto, a convergência não é absoluta.
Resposta
A série converge condicionalmente (série alternante de Leibniz) e diverge em módulo.