Teste a série quanto a convergência ou divergência.
7. \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n \ln n}

Passo 1

O enunciado nos pede para testar a convergência da série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n \ln n}.
O conteúdo principal aqui é o critério de Leibniz para séries alternantes, acompanhado do teste da integral para verificar a divergência da série de termos absolutos.

Passo 2

Aplicamos o critério de Leibniz. Definimos
a_n = \frac{1}{n \ln n}\quad(n\ge2).
(i) Primeiro,
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n\ln n} = 0,
pois o denominador cresce sem limite.
(ii) Em seguida, observamos que a_n é decrescente para n\ge2, já que a função contínua
f(x)=\frac{1}{x\ln x}
tem derivada negativa quando x>e.
Como a_n\ge0, a_{n+1}\le a_n e \lim a_n=0, a série alternante converge pelo critério de Leibniz.

Passo 3

Para verificar se a convergência é absoluta, consideramos
\sum_{n=2}^{\infty}\biggl|\frac{(-1)^{n-1}}{n\ln n}\biggr| = \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}.
Pelo teste da integral,
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x\ln x} = \lim_{t\to\infty}\bigl[\ln(\ln x)\bigr]_{2}^{t} = \lim_{t\to\infty}\bigl(\ln(\ln t)-\ln(\ln 2)\bigr) = \infty,
logo a série de termos positivos diverge. Portanto, a convergência não é absoluta.

Resposta

A série converge condicionalmente (série alternante de Leibniz) e diverge em módulo.

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