Teste a série quanto a convergência ou divergência.
9. \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n^{2}}{n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{n^{2}}{n^{2}+1}.
O conteúdo envolve o teste da convergência de séries alternadas (teste de Leibniz) e, antes disso, o teste de divergência (condição necessária: o termo geral deve tender a zero).

Passo 2

Analisamos o termo geral
a_{n}=(-1)^{n}\,\frac{n^{2}}{n^{2}+1}.
Primeiro, verificamos
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}+1} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\tfrac1{n^{2}}} =1.
Logo
\lim_{n\to\infty}a_{n}
não existe (oscila entre \pm1) e em particular não é zero. Pela condição necessária de convergência de séries, se o termo geral não tende a zero, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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