Teste a série quanto a convergência ou divergência.
14. sumn=1^infty(-1)^n-1 arctg n

Passo 1

No enunciado temos a série alternada sumn=1^infty(-1)^n-1arctg(n). O assunto aqui é convergência de séries, em particular séries alternadas, e vamos precisar do teste da divergência (que diz que, se o termo geral não tende a zero, a série diverge) e, em princípio, do critério de Leibniz (que exige termo decrescente e com limite zero).

Passo 2

Para aplicar o teste da divergência, olhamos para o termo geral sem o sinal alternado, isto é, an=arctg(n). Sabemos que
limntoinftyarctg(n)=pi2neq 0
Como an não tende a zero, o termo geral (-1)^n-1arctg(n) também não tende a zero.

Passo 3

Pelo teste da divergência, como o termo geral não vai a zero, a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge.

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