Calcule as integrais. Verifique suas respostas diferenciando.
integral-2^3 x^-3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral-2^3 x^-3,dx. O conteúdo é de integrais impróprias, pois o integrando x^-3=1/x^3 fica indefinido em x=0, que está dentro do intervalo de integração. Para resolver, vamos dividir o intervalo em duas partes que evitem o ponto singular.

Passo 2

Para tratar a descontinuidade em zero, escrevemos a integral como soma de limites:
integral-2^3 x^-3,dx =limato0^-integral-2^a x^-3,dx +limbto0^+integralb^3 x^-3,dx
Agora precisamos achar a antiderivada de x^-3.

Passo 3

Usando a regra integral x^n,dx=x^n+1n+1 para nneq -1, com n=-3 temos:
integral x^-3,dx=x^-2-2=-12x^2 Essa função F(x)=-tfrac12x^2 é uma primitiva de x^-3 em xneq0.

Passo 4

Agora avaliamos cada parte como limite. Para [-2,a]:
integral-2^a x^-3,dx=l[-tfrac12x^2r]-2^a =-12a^2-l(-18r) =-12a^2+18 Quando ato0^-, 1/a^2to+infty e portanto -1/(2a^2)to-infty. Essa parte já diverge.

Passo 5

Como pelo menos um dos limites diverge, a integral imprópria integral-2^3 x^-3,dx não converge a um valor finito. Para completar a verificação, notamos que a primitiva F(x)=-tfrac12x^2 satisfaz F'(x)=x^-3 para xneq0, confirmando a escolha da antiderivada.
Dado que uma das partes diverge, concluímos que a integral definida não existe em valor finito.

Resposta

A integral integral-2^3 x^-3,dx é divergente (não converge a valor finito).

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