Teste a série quanto a convergência ou divergência.
\sum_{n-2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}
\sum_{n-2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série
O conteúdo envolve testes de convergência de séries de termos positivos, em especial o teste de comparação com séries do tipo
.
Passo 2
Vamos reescrever o termo geral
usando exponenciais. Como
, temos
Passo 3
Observamos que, para
grande,
cresce sem limite, embora devagar. Logo existe
tal que para todo
vale
para algum
. Por exemplo, para
temos
, ou seja, podemos tomar
.
Passo 4
Para
vale
Como
é uma série
-com
, ela converge. Os termos iniciais
formam uma soma finita, que não compromete a convergência do todo. Pelo teste de comparação, a série original converge.
Resposta
A série converge.