Encontra a taxa de variação \frac{d y}{d x}, para a função y(x) dada implicitamente pela equação y^{3}+y^{2}= \operatorname{sen}(x).

Passo 1

O enunciado define uma função y(x) de modo implícito pela equação
y^{3} + y^{2} = \sin(x).
O conteúdo aqui é derivação implícita: vamos diferenciar ambos os lados em relação a x, usando a regra da cadeia para os termos que envolvem y.

Passo 2

Diferenciando a equação
y^{3} + y^{2} = \sin(x)
em relação a x, obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(y^{3}\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(y^{2}\bigr) = \frac{d}{dx}\bigl(\sin(x)\bigr).
Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl(y^{3}\bigr) = 3y^{2}\,\frac{dy}{dx}, \quad \frac{d}{dx}\bigl(y^{2}\bigr) = 2y\,\frac{dy}{dx}, \quad \frac{d}{dx}\bigl(\sin(x)\bigr) = \cos(x).

Passo 3

Substituindo essas derivadas na igualdade, fica
3y^{2}\,\frac{dy}{dx} + 2y\,\frac{dy}{dx} = \cos(x).
Agora, colocamos \frac{dy}{dx} em evidência:
\bigl(3y^{2} + 2y\bigr)\,\frac{dy}{dx} = \cos(x).

Passo 4

Para isolar \frac{dy}{dx}, dividimos ambos os lados por \smash{3y^{2}+2y}:
\frac{dy}{dx} = \frac{\cos(x)}{3y^{2} + 2y}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{\cos(x)}{3y^{2} + 2y}.

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