Teste a série quanto a convergência ou divergência.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+n \cos ^{2} n}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n + n\cos^2 n}
O conteúdo envolvido é teste de comparação para séries de termos positivos. Vamos precisar usar o fato de que \cos^2 n é sempre entre 0 e 1.

Passo 2

Observamos que, para todo n,
0 \le \cos^2 n \le 1
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1 \le 1 + \cos^2 n \le 2.

Passo 3

Da desigualdade anterior segue que
\frac{1}{n(1 + \cos^2 n)} \ge \frac{1}{n \cdot 2} = \frac{1}{2n}.
Como \sum_{n=1}^\infty \tfrac{1}{2n} = \tfrac12 \sum_{n=1}^\infty \tfrac{1}{n} é, à vista da série harmônica, divergente, a comparação direta mostra que a série dada também diverge.

Resposta

A série diverge.

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