Teste a série quanto a convergência ou divergência.
\sum_{n-2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}.
O conteúdo envolve testes de convergência de séries de termos positivos, em especial o teste de comparação com séries do tipo \sum 1/n^p.

Passo 2

Vamos reescrever o termo geral
a_{n} = \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}
usando exponenciais. Como (\ln n)^{\ln n} = e^{\ln n \cdot \ln(\ln n)}, temos
a_{n} = e^{-\ln n \,\ln(\ln n)} = n^{-\ln(\ln n)}.

Passo 3

Observamos que, para n grande, \ln(\ln n) cresce sem limite, embora devagar. Logo existe N tal que para todo n\ge N vale
\ln(\ln n)\ge 1+\varepsilon
para algum \varepsilon>0. Por exemplo, para n\ge 16 temos \ln(\ln n)\ge \ln(\ln 16)\approx1{,}02, ou seja, podemos tomar \varepsilon=0{,}02.

Passo 4

Para n\ge 16 vale
a_{n} = n^{-\ln(\ln n)} \le n^{-(1+\varepsilon)}.
Como \sum_{n=16}^{\infty} n^{-(1+\varepsilon)} é uma série p-com p=1+\varepsilon>1, ela converge. Os termos iniciais n=2,3,\dots,15 formam uma soma finita, que não compromete a convergência do todo. Pelo teste de comparação, a série original converge.

Resposta

A série converge.

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