Teste a série quanto a convergência ou divergência:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2 n}}{\left(1+2 n^{2}\right)^{n}}\

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2n}}{\bigl(1+2n^{2}\bigr)^{n}}.
O conteúdo envolve séries de potências e podemos usar o teste da raiz n-ésima, que é uma ferramenta eficiente para séries cujos termos estão elevados à potência n.

Passo 2

Definimos o termo geral
a_n = \frac{n^{2n}}{\bigl(1+2n^{2}\bigr)^{n}} =\biggl(\frac{n^2}{1+2n^2}\biggr)^{n} =\biggl(\frac{1}{2+\tfrac1{n^2}}\biggr)^{n}.
Aqui simplificamos n^{2n}/(1+2n^2)^n como \bigl(n^2/(1+2n^2)\bigr)^n e usando n^2/(1+2n^2)=1/(2+1/n^2).

Passo 3

Aplicamos o teste da raiz, calculando
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2+\tfrac1{n^2}} =\frac{1}{2}.
Como esse limite é \tfrac12<1, o teste da raiz garante que a série converge absolutamente.

Passo 4

Toda série de termos positivos que converge absolutamente também converge. Logo, a série dada converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2n}}{\bigl(1+2n^{2}\bigr)^{n}} converge.

Exercícios relacionados