Teste a série quanto a convergência ou divergência.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\operatorname{cosh} n}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\operatorname{cosh} n}
e pede para testar convergência ou divergência. O conteúdo envolve o Teste de Leibniz para séries alternantes e um Critério de Comparação para verificar convergência absoluta.

Passo 2

Definimos a_n = \frac{1}{\operatorname{cosh} n}. Note que para n\ge1:
  1. a_n>0.
  2. \operatorname{cosh} n = \frac{e^n + e^{-n}}{2} é crescente em n, logo a_n é decrescente.
\lim_{n\to\infty}a_n =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\operatorname{cosh} n} =0.
Assim, as condições do Teste de Leibniz (série alternante com \{a_n\} decrescente e com limite zero) estão satisfeitas, de modo que a série converge.

Passo 3

Para verificar convergência absoluta, consideramos
\sum_{n=1}^{\infty}\biggl|\frac{(-1)^n}{\operatorname{cosh} n}\biggr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\operatorname{cosh} n}.
Como
\operatorname{cosh} n = \frac{e^n + e^{-n}}{2}\ge \frac{e^n}{2},
temos
\frac{1}{\operatorname{cosh} n}\le \frac{2}{e^n}=2e^{-n}.
E a série
\sum_{n=1}^{\infty}2e^{-n}
é geométrica com razão r=e^{-1}<1, logo converge. Pelo Critério de Comparação, \sum 1/\operatorname{cosh} n converge.

Resposta

A série converge absolutamente e, portanto, converge.

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