Teste a série quanto a convergência ou divergência.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n{2}+1}{5{n}}
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{5^{n}}.
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas, e vamos usar o teste da razão (ou de D’Alembert), pois temos termo com crescimento polinomial no numerador e decaimento exponencial no denominador.
Passo 2
Definimos a_{n} = \frac{n^{2}+1}{5^{n}}. Pelo teste da razão, calculamos
Como L = \tfrac{1}{5}<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente. Portanto, a série \sum_{n=1}^{\infty} \tfrac{n^{2}+1}{5^{n}} é convergente.
Resposta
A série converge (converge absolutamente pelo teste da razão).