Teste a série quanto a convergência ou divergência.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n{2}+1}{5{n}}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{5^{n}}.
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas, e vamos usar o teste da razão (ou de D’Alembert), pois temos termo com crescimento polinomial no numerador e decaimento exponencial no denominador.

Passo 2

Definimos a_{n} = \frac{n^{2}+1}{5^{n}}. Pelo teste da razão, calculamos
L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| = \lim_{n \to \infty} \frac{\tfrac{(n+1)^{2}+1}{5^{\,n+1}}}{\tfrac{n^{2}+1}{5^{\,n}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{2}+1}{5\,\bigl(n^{2}+1\bigr)}.

Passo 3

Para calcular o limite, note que (n+1)^{2}+1 = n^{2}+2n+2. Assim
L = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2}+2n+2}{5\,\bigl(n^{2}+1\bigr)} = \frac{1}{5}\,\lim_{n \to \infty} \frac{n^{2}+2n+2}{n^{2}+1} = \frac{1}{5}\times 1 = \frac{1}{5}.

Passo 4

Como L = \tfrac{1}{5}<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente. Portanto, a série \sum_{n=1}^{\infty} \tfrac{n^{2}+1}{5^{n}} é convergente.

Resposta

A série converge (converge absolutamente pelo teste da razão).

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