Teste a série quanto a convergência ou divergência.
\sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{tg}(1 / n)

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \tan\bigl(1/n\bigr).
Este é um problema de séries numéricas, e vamos usar o comportamento assintótico de \tan x para x\to0 e o teste de comparação por limite (Limit Comparison Test).

Passo 2

Para x pequeno temos o desenvolvimento de Taylor
\tan x = x + o(x),
ou seja, quando n\to\infty e x=1/n,
\tan\bigl(1/n\bigr)\sim 1/n.

Passo 3

Aplique o teste de comparação por limite entre
a_{n}=\tan\bigl(1/n\bigr) \quad\text{e}\quad b_{n}=1/n.
Calcule
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\tan(1/n)}{1/n} =\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x} =1.
Como esse limite é um número finito e não nulo, as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 4

Sabemos que a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
é divergente. Logo, pela comparação por limite,
\sum_{n=1}^{\infty}\tan\bigl(1/n\bigr)
também diverge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\tan\bigl(1/n\bigr) é divergente.

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