Teste a série quanto a convergência ou divergência.
\sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{tg}(1 / n)
\sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{tg}(1 / n)
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série
Este é um problema de séries numéricas, e vamos usar o comportamento assintótico de
para
e o teste de comparação por limite (Limit Comparison Test).
Passo 2
Para
pequeno temos o desenvolvimento de Taylor
ou seja, quando
e
,
Passo 3
Aplique o teste de comparação por limite entre
Calcule
Como esse limite é um número finito e não nulo, as séries
e
têm o mesmo comportamento de convergência.
Passo 4
Sabemos que a série harmônica
é divergente. Logo, pela comparação por limite,
também diverge.
Resposta
A série
é divergente.