Teste a série quanto a convergência ou divergência.
6. \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{n}{5 n+1}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série alternante
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{n}{5n+1}.
O que vamos usar é o teste do termo geral: se o termo geral não tende a zero, a série necessariamente diverge.

Passo 2

Vamos calcular o limite do termo geral:
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{5n+1} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{5+\tfrac{1}{n}} =\frac{1}{5}.

Passo 3

Vimos que
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{5n+1}=\frac{1}{5}\neq 0.
Como o termo geral não tende a zero, pela condição necessária de convergência de séries, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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