Enontre o raio e o intervalo de convergência da série:
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{n}}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots(2 n-1)}

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{n}}{1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-1)}
e pede o raio de convergência R e o intervalo de convergência real. Vamos usar o teste da razão sobre os termos em valor absoluto, já que é a forma mais direta para séries de potências.

Passo 2

Definimos o termo geral em valor absoluto como
a_n = \frac{|x|^{n}}{1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-1)}.
Para aplicar o teste da razão, calculamos
\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr|.

Passo 3

Como
1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-1)\,(2n+1) =1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-1)\quad\text{é o produto até o termo }(2n+1),éé
temos
\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr| =\frac{|x|^{\,n+1}}{1\cdot3\cdots(2n-1)\,(2n+1)}\;\Big/\;\frac{|x|^n}{1\cdot3\cdots(2n-1)} =\frac{|x|}{2n+1}.

Passo 4

Tomando o limite quando n\to\infty,
\lim_{n\to\infty}\frac{|x|}{2n+1}=0.
Pelo teste da razão, a série converge absolutamente sempre que esse limite for menor que 1. Aqui ele vale 0 para todo x, logo o raio de convergência é
R=\infty.

Passo 5

Como R=\infty, o intervalo de convergência real é
(-\infty,\infty).

Resposta

O raio de convergência é R=\infty e o intervalo de convergência é (-\infty,\infty).

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