Resolvam as Equações não homogêneas, utilizando o Método dos Coeficientes Indeterminados.
y^prime prime+2 y^prime+5 y=3 sen 2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea de segunda ordem
y'' + 2y' + 5y = 3sin(2x)
usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos primeiro encontrar a solução geral da parte homogênea e depois um particular que anule a parte não homogênea.

Passo 2

Consideramos a equação homogênea associada
y'' + 2y' + 5y = 0
A equação característica é
r^2 + 2r + 5 = 0,
cuja solução é
r = -1 pm 2i
Logo, a solução geral da homogênea é
yh(x) = e^-xl(C1cos(2x) + C2sin(2x)r)

Passo 3

Para a parte particular, como o termo não homogêneo é 3sin(2x), tentamos
yp(x) = Acos(2x) + Bsin(2x),
com A e B constantes a determinar. Calculamos as derivadas:
yp' = -2Asin(2x) + 2Bcos(2x),
yp'' = -4Acos(2x) - 4Bsin(2x)

Passo 4

Substituindo em y'' + 2y' + 5y obtemos
yp'' + 2yp' + 5yp = (-4Acos2x -4Bsin2x) +2(-2Asin2x +2Bcos2x) +5(Acos2x +Bsin2x),
= (A + 4B)cos(2x) + (B - 4A)sin(2x)
Como isso deve igualar a 3sin(2x), igualamos coeficientes:
A + 4B = 0,
B - 4A = 3
Da primeira A = -4B. Substituindo na segunda:
B - 4(-4B) = 3 Longrightarrow 17B = 3 Longrightarrow B = 317,
A = -4B = -1217

Passo 5

A solução geral da equação não homogênea é a soma de yh com yp:
y(x) = e^-xl(C1cos(2x) + C2sin(2x)r) -1217cos(2x) + 317sin(2x)

Resposta

y(x) = e^-xl(C1cos(2x) + C2sin(2x)r) -1217cos(2x) + 317sin(2x)

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