Resolvam as Equações não homogêneas, utilizando o Método dos Coeficientes Indeterminados.
y^prime prime-2 y^prime-3 y=3 e^2 x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem
y'' - 2y' - 3y = 3e^2x
O conteúdo é solução de EDO com coeficientes constantes usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos achar a solução geral como
y(x) = yc(x) + yp(x)
onde yc é a solução da homogênea e yp é um particular.

Passo 2

Começamos resolvendo a equação homogênea
y'' - 2y' - 3y = 0
A equação característica é
r^2 - 2r - 3 = 0
Resolvendo,
r = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm 42,
logo r1 = 3 e r2 = -1. Portanto
yc(x) = C1 e^3x + C2 e^-x

Passo 3

Para o termo não homogêneo 3e^2x tentamos
yp(x) = A e^2x
Calculamos as derivadas:
yp' = 2A e^2x, yp'' = 4A e^2x
Substituindo na equação,
yp'' - 2yp' - 3yp = l(4A - 2cdot 2A - 3Ar)e^2x = (-3A)e^2x
Queremos isso igual a 3e^2x, então
-3A = 3 Longrightarrow A = -1
Assim
yp(x) = -e^2x

Passo 4

A solução geral da equação não homogênea é
y(x) = yc(x) + yp(x) = C1 e^3x + C2 e^-x - e^2x

Resposta

y(x) = C1 e^3x + C2 e^-x - e^2x

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