Teste a série quanto à convergência ou à divergência.
sumn=1^infty 1n+n!

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^infty1n+n!
O conteúdo envolvido são séries numéricas e, em particular, o teste da razão, que analisa
L = limntoinftyan+1an,
onde an=tfrac1n+n!.

Passo 2

Definimos o termo geral da série como
an = 1n + n!

Passo 3

Aplicamos o teste da razão calculando
an+1an = 1(n+1)+(n+1)!1n+n! = n + n!(n+1) + (n+1)! = n + n!(n+1)l(1 + n!r)
Para encontrar o limite, dividimos numerador e denominador por n!:
an+1an = tfracnn!+1(n+1)l(tfrac1n!+1r)
Como limntoinftytfracnn!=0 e limntoinftytfrac1n!=0, segue
L = limntoinftyan+1an = 0+1limntoinfty(n+1)(0+1) = 0

Passo 4

Como L=0<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente. Logo, a série é convergente.

Resposta

A série sumn=1^infty1n+n! converge.

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