Desenhe o conjunto de todos os pontos
que satisfazem as seguintes condições:
.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do lugar geométrico definido por |x|−|y|=1. O conteúdo aqui é manipular valores absolutos e traduzir a condição em reta(s) em diferentes regiões (quadrantes) do plano.
Passo 2
Para eliminar os valores absolutos, dividimos em casos conforme o sinal de x e y. Assim temos quatro situações: (i) x≥0,y≥0; (ii) x≥0,y<0; (iii) x<0,y≥0; (iv) x<0,y<0.
Passo 3
No caso x≥0: a equação fica x−|y|=1. Se y≥0 então |y|=y e x−y=1 ⇒ y=x−1 com x−1≥0 ⇒ x≥1. Se y<0 então |y|=−y e x+ y=1 ⇒ y=1−x com 1−x<0 ⇒ x>1. Ou seja, para x≥1 temos duas semirretas a partir de (1,0): uma indo para cima pela reta y=x−1 e outra para baixo pela reta y=1−x.
Passo 4
No caso x<0: a equação fica −x−|y|=1. Se y≥0 então |y|=y e −x−y=1 ⇒ y=−x−1 com −x−1≥0 ⇒ x≤−1. Se y<0 então |y|=−y e −x+ y=1 ⇒ y=x+1 com x+1<0 ⇒ x<−1. Logo, para x≤−1 surgem duas semirretas a partir de (−1,0): uma subindo pela reta y=−x−1 e outra descendo pela reta y=x+1.
Passo 5
Unindo tudo, o gráfico é a união de quatro semirretas: duas partindo de (1,0) nos quadrantes I e IV e duas partindo de (−1,0) nos quadrantes II e III. Elas formam um “X” aberto nos pontos (±1,0).
Resposta
O conjunto de solução é a união das semirretas:
(1) para x≥1: y=x−1 e y=1−x;
(2) para x≤−1: y=−x−1 e y=x+1;
(2) para x≤−1: y=−x−1 e y=x+1;
que se encontram nos pontos (1,0) e (−1,0), formando quatro ramos retos abertos.