Teste a série quanto a convergência ou divergência:
sumn=1^infty n^2 n(1+2 n^2)^n

Passo 1

O exercício pede para testar a convergência da série sumn=1^infty n^2n(1+2n^2)^n. O conteúdo que vamos usar é o Teste da Raiz, que funciona bem quando o termo geral é elevado à potência n. Precisamos calcular limntoinfty|an|^1/n.

Passo 2

O Teste da Raiz diz que se L=limntoinfty|an|^1/n<1 a série converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste não informa. Aqui an=n^2n(1+2n^2)^n. Calculamos:
|an|^1/n = (n^2n)^1/n((1+2n^2)^n)^1/n = n^21+2n^2

Passo 3

Agora, calculamos o limite:
L = limntoinftyn^21+2n^2 = 12

Passo 4

Como L=1/2<1, pelo Teste da Raiz a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente pelo Teste da Raiz (como L=1/2<1).

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