Teste a série quanto a convergência ou divergência:
sumn=1^infty (2 n)!(n!)^2

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série sumn=1^infty (2n)!(n!)^2. Esse é um problema de séries numéricas e vamos precisar usar um teste de convergência (no caso, o teste da razão).

Passo 2

O teste da razão diz que, para termos gerais an, se L = limntoinfty |an+1an|, então a série converge se L<1, diverge se L>1, e é inconclusivo se L=1. Aqui temos an = (2n)!(n!)^2.

Passo 3

Vamos calcular a razão an+1an. Começando de
an+1an = (2(n+1))!((n+1)!)^2(2n)!(n!)^2 = (2n+2)!(2n)!cdotn!^2(n+1)!^2

Passo 4

Agora simplificamos:
(2n+2)!(2n)! = (2n+2)(2n+1), n!^2(n+1)!^2 = 1(n+1)^2

Passo 5

Logo
an+1an = (2n+2)(2n+1)(n+1)^2 = 2cdot2n+1n+1 = 4 - 2n+1

Passo 6

Tomando o limite quando ntoinfty:
L = limntoinftyl(4 - 2n+1r) = 4

Passo 7

Como L = 4 > 1, pelo teste da razão a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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