Teste a série quanto a convergência ou divergência:
sumn=1^infty 2 cdot 4 cdot 6 cdots(2 n)n!

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série sumn=1^infty 2cdot4cdot6cdots(2n)n!. O conteúdo envolvido é identificação de produtos fatoriais duplos e teste de séries geométricas.

Passo 2

Para simplificar o numerador, note que cada fator é um número par. Podemos escrever
2cdot4cdot6cdots(2n) = 2times 4timescdotstimes(2n) = (2cdot1)(2cdot2)cdots(2cdot n) = 2^n,(1cdot2cdots n) = 2^n,n!

Passo 3

Substituindo essa expressão na série, o termo geral fica
an = 2cdot4cdot6cdots(2n)n! = 2^n,n!n! = 2^n

Passo 4

Agora reconhecemos a série como
sumn=1^infty2^n,
que é uma série geométrica de razão r=2. Como |r|>1, essa série diverge.

Passo 5

Portanto, a série dada diverge.

Resposta

A série diverge.

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