Teste a série quanto à convergência ou à divergência
sumn=1^infty(-1)^n-1 n^44^n

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série alternada
sumn=1^infty(-1)^n-1n^44^n
O conteúdo envolvido são os testes de convergência de séries infinitas, em particular o teste da razão (d’Alembert) para a série de termos absolutos, o que nos permite concluir sobre convergência absoluta e, portanto, sobre a convergência da série original.

Passo 2

Consideremos a série de termos positivos
sumn=1^infty|;(-1)^n-1n^44^n| =sumn=1^inftyn^44^n
Aplicamos o teste da razão calculando
L =limntoinfty (n+1)^44^,n+1n^44^,n =limntoinfty(n+1)^4n^4cdot14 =14<1
Como L<1, a série sum n^4/4^n converge. Logo a série original converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente e, portanto, converge.

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