Teste a série quanto à convergência ou à divergência
Passo 1
O enunciado pede para investigar a convergência da série alternada
O conteúdo envolvido são os testes de convergência de séries infinitas, em particular o teste da razão (d’Alembert) para a série de termos absolutos, o que nos permite concluir sobre convergência absoluta e, portanto, sobre a convergência da série original.
Passo 2
Consideremos a série de termos positivos
Aplicamos o teste da razão calculando
L =limntoinfty (n+1)^44^,n+1n^44^,n =limntoinfty(n+1)^4n^4cdot14 =14<1
Como L<1, a série sum n^4/4^nconverge. Logo a série original converge absolutamente.
Resposta
A série converge absolutamente e, portanto, converge.