(a) sumn=1^infty 1raizn^2+1
(b) sumn=1^infty 1n raizn^2+1

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência de duas séries numéricas:
(a) sumn=1^infty1raizn^2+1
(b) sumn=1^infty1nraizn^2+1
O conteúdo aqui é o teste de comparação com séries p, sabendo que
sumn=1^infty1n^p converge se p>1 e diverge se p<=1. Vamos aplicar o teste de comparação no limite (limit comparison test) em cada caso.

Passo 2

Para a série (a), definimos
an=1raizn^2+1
e escolhemos como comparação a série harmônica
bn=1n.
Calculamos o limite
limntoinftyanbn =limntoinftynraizn^2+1 =1
Como sum bn diverge (é a série harmônica) e o limite acima é um número finito não nulo, conclui-se que sum an também diverge.

Passo 3

Para a série (b), definimos
an=1nraizn^2+1
e escolhemos como comparação a p-série com p=2:
bn=1n^2.
Aplicamos o teste no limite:
limntoinftyanbn =limntoinftyn^2nraizn^2+1 =limntoinftynraizn^2+1 =1
Como sum bn converge ( p=2>1) e o limite é finito não nulo, concluímos que sum an também converge.

Resposta

(a) A série diverge.
(b) A série converge.

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