Resolva d/y = (-2 x + y)^2 - 7, y(0) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é com a condição inicial . Isso faz parte do estudo de equações diferenciais não lineares. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a equação e permita separar as variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos definir uma nova variável z da seguinte forma:
Essa substituição é útil porque pode transformar a equação original em uma forma mais fácil de resolver.

Passo 3

Agora, vamos derivar z em relação a x:
Substituindo pela equação original:
Como , temos . Então:
Agora a equação está em termos de z e é mais simples de resolver.

Passo 4

A equação é separável, ou seja, podemos separar as variáveis z e x:
Para integrar o lado esquerdo, vamos fazer uma decomposição em frações parciais.

Passo 5

Decompomos a fra��ão:
Agora, integramos ambos os lados:
Isso resulta em:
Multiplicando ambos os lados por 6:
Onde .

Passo 6

Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Podemos escrever como uma constante K, então:
Resolvendo para z:
Agora, aplicamos a condição inicial . Lembrando que , quando x = 0, . Então:
Isso implica que , ou seja, .
Substituindo de volta na expressão de z:
Finalmente, lembrando que , temos:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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