Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é com a condição inicial . Isso faz parte do estudo de equações diferenciais não lineares. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a equação e permita separar as variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos definir uma nova variável da seguinte forma:
Essa substituição é útil porque pode transformar a equação original em uma forma mais fácil de resolver.
Passo 3
Agora, vamos derivar em relação a :
Substituindo pela equação original:
Como , temos . Então:
Agora a equação está em termos de e é mais simples de resolver.
Passo 4
A equação é separável, ou seja, podemos separar as variáveis e :
Para integrar o lado esquerdo, vamos fazer uma decomposição em frações parciais.
Passo 5
Decompomos a fra��ão:
Agora, integramos ambos os lados:
Isso resulta em:
Multiplicando ambos os lados por 6:
Onde .
Passo 6
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Podemos escrever como uma constante K, então:
Resolvendo para z:
Agora, aplicamos a condição inicial . Lembrando que , quando x = 0, . Então: