Calcule as integrais nos exercicios 7-20.
integral1^e integral1^e integral0^e 1x y z d x d y d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla impropriamente definida de f(x,y,z)=1x y z sobre o domínio D=1<= x<= e,;1<= y<= e,;0<= z<= e. O conteúdo é integração múltipla e tratamento de integrais impróprias, pois há uma descontinuidade em z=0.

Passo 2

Como a função f(x,y,z) é produto de funções que dependem separadamente de x, y, z, podemos usar a propriedade de separação de integrais:
integral1^eintegral1^eintegral0^e 1x y z ,dx,dy,dz= (integral1^edxx)cdot(integral1^edyy)cdot(integral0^edzz)

Passo 3

Para as integrais em x e y temos
integral1^edxx=l[ln xr]1^e=ln e-ln1=1-0=1,
e de forma idêntica
integral1^edyy=1

Passo 4

A parte em z é uma integral imprópria devido ao limite inferior zero. Introduzimos um parâmetro varepsilon>0 e depois fazemos varepsilonto0^+:
integral0^edzz=limvarepsilonto0^+integralvarepsilon^edzz =limvarepsilonto0^+l[ln zr]varepsilon^e =limvarepsilonto0^+(ln e-lnvarepsilon) =1-(-infty)=+infty

Passo 5

Como a parte em z diverge para +infty, o produto geral também diverge. Portanto a integral tripla não converge.

Resposta

A integral é divergente (igual a +∞).

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