Teste a série quanto à convergência ou à divergência.
sumn=1^infty (-1)^ncossech n

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^infty(-1)^ncossechn.
Vamos usar o teste da divergência, que diz que um requisito necessário para a série convergir é
limntoinftyan=0, onde an é o termo geral.

Passo 2

Precisamos entender o que é cossech(n). Na notação de funções hiperbólicas,
cosech(n)=1sinh(n),
logo quem às vezes se escreve “cossech” é justamente essa função. Assim,
1cossech(n) =sinh(n)
Portanto o termo geral da série fica
an =(-1)^ncossech(n) =(-1)^n,sinh(n)

Passo 3

Para que a série tenha qualquer chance de convergir é preciso
limntoinftyan=0. Mas como
limntoinftysinh(n)=+infty,
temos
limntoinfty|an| =limntoinftysinh(n) =+infty
e, portanto, limntoinftyan não é zero.

Passo 4

Pelo teste da divergência (se o termo geral não tende a zero, a série diverge), concluímos que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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