Teste a simetria de r=\cos \theta em relação ao Eixo Polar (Eixo X).

Passo 1

O enunciado dá a curva polar r=\cos\theta e pede para testar se ela é simétrica em relação ao Eixo Polar (o eixo x no plano cartesiano). Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação polar é r=\cos\theta.
  • A pergunta é apenas sobre simetria em relação ao Eixo Polar (eixo x).

Passo 2

Explicar o teste de simetria para o Eixo Polar: em coordenadas polares, uma curva é simétrica em relação ao Eixo Polar se, sempre que (r,\theta) está na curva, o ponto refletido (r,-\theta) também está na curva. Operacionalmente, para testar a simetria basta substituir \theta por -\theta na equação e verificar se a equação resultante é equivalente à original. Observação útil: a identidade trigonométrica \cos(-\theta)=\cos\theta costuma aparecer nesse teste.

Passo 3

Aplicar o teste diretamente:
r(\!-\theta)=\cos(-\theta).
Usando a identidade trigonométrica,
\cos(-\theta)=\cos\theta.
Portanto
r(\!-\theta)=\cos\theta=r(\theta).
Como a equação não muda ao substituir \theta por -\theta, a curva passa no teste de simetria em relação ao Eixo Polar.

Passo 4

Dar uma visão geométrica (ajuda a entender por que isso faz sentido): converter a equação polar para cartesiana. Multiplicando ambos os lados por r,
r^2 = r\cos\theta.
Como r^2=x^2+y^2 e r\cos\theta=x, temos
x^2+y^2 = x.
Completar o quadrado em x:
x^2 - x + y^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \left(x-\tfrac{1}{2}\right)^2 + y^2 = \left(\tfrac{1}{2}\right)^2.
Isso é a equação de um círculo de centro \left(\tfrac{1}{2},0\right) e raio \tfrac{1}{2}. Como o centro tem coordenada y=0, o círculo é simétrico em relação ao eixo x. Essa descrição cartesiana confirma a conclusão obtida pelo teste direto.

Passo 5

Breve comentário sobre sinais de r: quando \cos\theta<0 temos r<0 em certas direções, mas a ambiguidade polar (r,\theta)\equiv(-r,\theta+\pi) não quebra a simetria testada por \theta\mapsto -\theta. O teste direto já mostrou igualdade r(-\theta)=r(\theta), então não há contradição — a curva permanece simétrica em relação ao eixo polar.

Resposta

Sim. A curva \;r=\cos\theta\; é simétrica em relação ao Eixo Polar (eixo x).

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