Teste a simetria de
em relação ao Eixo Polar (Eixo X).
Passo 1
O enunciado dá a curva polar
e pede para testar se ela é simétrica em relação ao Eixo Polar (o eixo
no plano cartesiano). Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação polar é
. - A pergunta é apenas sobre simetria em relação ao Eixo Polar (eixo
).
Passo 2
Explicar o teste de simetria para o Eixo Polar: em coordenadas polares, uma curva é simétrica em relação ao Eixo Polar se, sempre que
está na curva, o ponto refletido
também está na curva. Operacionalmente, para testar a simetria basta substituir
por
na equação e verificar se a equação resultante é equivalente à original. Observação útil: a identidade trigonométrica
costuma aparecer nesse teste.
Passo 3
Aplicar o teste diretamente:
Usando a identidade trigonométrica,
Portanto
Como a equação não muda ao substituir
por
, a curva passa no teste de simetria em relação ao Eixo Polar.
Passo 4
Dar uma visão geométrica (ajuda a entender por que isso faz sentido): converter a equação polar para cartesiana. Multiplicando ambos os lados por
,
Como
e
, temos
Completar o quadrado em
:
Isso é a equação de um círculo de centro
e raio
. Como o centro tem coordenada
, o círculo é simétrico em relação ao eixo
. Essa descrição cartesiana confirma a conclusão obtida pelo teste direto.
Passo 5
Breve comentário sobre sinais de
: quando
temos
em certas direções, mas a ambiguidade polar
não quebra a simetria testada por
. O teste direto já mostrou igualdade
, então não há contradição — a curva permanece simétrica em relação ao eixo polar.
Resposta
Sim. A curva
é simétrica em relação ao Eixo Polar (eixo
).