Converta para polar:
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado dá a equação
. - O enunciado pede: converter essa equação para coordenadas polares (ou seja, escrever a mesma curva usando as variáveis polares).
Passo 2
Primeiro, vamos recordar as definições básicas das coordenadas polares e o que cada variável significa (isso é importante para saber o que substituir).
- Em coordenadas polares usa-se um par
onde: -
é a distância do ponto à origem (ou seja, o módulo do vetor posição). Por convenção toma-se . -
é o ângulo medido a partir do eixo positivo até o raio que vai da origem ao ponto (em radianos, normalmente).
-
- As relações entre coordenadas cartesianas
e polares são:
Nessas fórmulas,
e
são as funções trigonométricas do ângulo
.
Passo 3
Uma dica muito útil: ao quadrar e somar as duas relações acima obtemos uma fórmula que relaciona
com
e
. Vamos fazer isso passo a passo (é apenas aplicar álgebra e a identidade trigonométrica
).
- Elevar
ao quadrado: - Elevar
ao quadrado: - Somando as duas igualdades:
- Como
, concluímos:
Essa é uma identidade fundamental: em coordenadas polares temos
.
Passo 4
Agora substituímos a identidade
na equação dada
. Fazendo a substituição:
Passo 5
Resolver
é simples: tiramos raiz quadrada dos dois lados. Como
representa distância e adotamos
, escolhemos a raiz positiva:
Observação rápida: formalmente a equação algébrica tem duas raízes
e
, mas em coordenadas polares costuma-se usar
. A solução
corresponderia aos mesmos pontos usando ângulos
, então não é necessário considerá-la separadamente aqui.
Passo 6
Interpretação geométrica e verificação (útil para a prova): a equação polar
descreve todos os pontos cuja distância à origem é
— ou seja, um círculo de raio
centrado na origem. Para ver isso parametrizado:
- Para cada
(qualquer ângulo real), os pontos têm coordenadas cartesianas - Exemplos rápidos:
-
dá . -
dá . -
dá .
Vendo esses pontos fica claro que, variandode a , descreve-se o círculo de raio .
-
Passo 7
Dica prática para a prova: toda equação da forma
converte-se diretamente para
em coordenadas polares (com
). Isso é muito rápido de reconhecer e economiza tempo.