Converta para polar: x^{2}+y^{2}=25.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado dá a equação \,x^{2}+y^{2}=25\,.
  • O enunciado pede: converter essa equação para coordenadas polares (ou seja, escrever a mesma curva usando as variáveis polares).

Passo 2

Primeiro, vamos recordar as definições básicas das coordenadas polares e o que cada variável significa (isso é importante para saber o que substituir).
  • Em coordenadas polares usa-se um par (r,\theta) onde:
    • r é a distância do ponto à origem (ou seja, o módulo do vetor posição). Por convenção toma-se r\ge 0.
    • \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo até o raio que vai da origem ao ponto (em radianos, normalmente).
  • As relações entre coordenadas cartesianas (x,y) e polares (r,\theta) são: x = r\cos\theta
y = r\sin\theta
Nessas fórmulas, \cos\theta e \sin\theta são as funções trigonométricas do ângulo \theta.

Passo 3

Uma dica muito útil: ao quadrar e somar as duas relações acima obtemos uma fórmula que relaciona r com x e y. Vamos fazer isso passo a passo (é apenas aplicar álgebra e a identidade trigonométrica \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1).
  • Elevar x ao quadrado: x^{2} = (r\cos\theta)^{2} = r^{2}\cos^{2}\theta
  • Elevar y ao quadrado: y^{2} = (r\sin\theta)^{2} = r^{2}\sin^{2}\theta
  • Somando as duas igualdades: x^{2}+y^{2} = r^{2}\cos^{2}\theta + r^{2}\sin^{2}\theta = r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta).
  • Como \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1, concluímos: x^{2}+y^{2}=r^{2}.
Essa é uma identidade fundamental: em coordenadas polares temos \,r^{2}=x^{2}+y^{2}\,.

Passo 4

Agora substituímos a identidade \,x^{2}+y^{2}=r^{2}\, na equação dada \,x^{2}+y^{2}=25\,. Fazendo a substituição:
r^{2}=25.

Passo 5

Resolver r^{2}=25 é simples: tiramos raiz quadrada dos dois lados. Como r representa distância e adotamos r\ge 0, escolhemos a raiz positiva:
r=5.
Observação rápida: formalmente a equação algébrica tem duas raízes r=5 e r=-5, mas em coordenadas polares costuma-se usar r\ge 0. A solução r=-5 corresponderia aos mesmos pontos usando ângulos \theta+\pi, então não é necessário considerá-la separadamente aqui.

Passo 6

Interpretação geométrica e verificação (útil para a prova): a equação polar r=5 descreve todos os pontos cuja distância à origem é 5 — ou seja, um círculo de raio 5 centrado na origem. Para ver isso parametrizado:
  • Para cada \theta (qualquer ângulo real), os pontos têm coordenadas cartesianas x = 5\cos\theta,\qquad y = 5\sin\theta.
  • Exemplos rápidos:
    • \theta=0 (x,y)=(5,0).
    • \theta=\tfrac{\pi}{2} (x,y)=(0,5).
    • \theta=\pi (x,y)=(-5,0).
      Vendo esses pontos fica claro que, variando \theta de 0 a 2\pi, descreve-se o círculo de raio 5.

Passo 7

Dica prática para a prova: toda equação da forma \,x^{2}+y^{2}=a^{2}\, converte-se diretamente para \,r=a\, em coordenadas polares (com a>0). Isso é muito rápido de reconhecer e economiza tempo.

Resposta

r=5

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