Teste a simetria em relação a cada eixo e à origem.
Passo 1
O enunciado pede para testar se a curva definida por y=x^{3}+x é simétrica em relação ao eixo y, ao eixo x e à origem. O conteúdo é simetria de funções e vamos precisar usar as definições de simetria para cada caso.
Passo 2
Para verificar simetria em relação ao eixo y, usamos a condição f(-x)=f(x). Calculando f(-x) temos f(-x)=(-x){3}+(-x)=-x{3}-x=-(x^{3}+x)=-f(x). Como f(-x)≠f(x), não há simetria em relação ao eixo y.
Passo 3
Para verificar simetria em relação ao eixo x, lembramos que um gráfico é simétrico em relação ao eixo x se, sempre que (x,y) está na curva, também (x,-y) está. Isso exigiria que -y=f(x) sempre que y=f(x), ou seja f(x)=-f(x), o que só ocorre se f(x)=0 identicamente. Como nossa função não é identicamente zero, não há simetria em relação ao eixo x.
Passo 4
Para verificar simetria em relação à origem, usamos a condição f(-x)=-f(x). Já vimos que f(-x)=-(x^{3}+x)=-f(x). Portanto a função satisfaz a condição de ser ímpar e o gráfico é simétrico em relação à origem.
Resposta
A curva não é simétrica em relação ao eixo y, nem em relação ao eixo x, mas é simétrica em relação à origem.