1. Um teste de QI tem distribuição normal com média 100 e desvio padrão 15.
    a) Qual a porcentagem da população que possui QI acima de 120 ?
    b) Se um grupo de 100 pessoas fez o teste, qual o número esperado de pessoas com QI entre 85 e 115?

Passo 1

O enunciado dá uma prova de QI com distribuição normal com média \mu=100 e desvio padrão \sigma=15. Perguntas:
  1. Qual a porcentagem da população com QI acima de 120?
  2. Em um grupo de 100 pessoas, qual o número esperado de pessoas com QI entre 85 e 115?
Informações relevantes listadas:
  • \mu=100
  • \sigma=15
  • Para (a): limite x=120.
  • Para (b): intervalo x\in[85,115] e tamanho do grupo n=100.

Passo 2

Conceito que vamos usar: padronização (transformar a normal em normal padrão).
Explicação didática: a distribuição normal com média \mu e desvio padrão \sigma pode ser transformada numa normal padrão (média 0, desvio 1) usando o escore-z:
z=\frac{x-\mu}{\sigma}.
Aqui x é o valor da variável original (QI), \mu é a média da população e \sigma é o desvio padrão. Depois de calcular z usamos a função de distribuição acumulada da normal padrão, denotada por \Phi(z), que dá a probabilidade P(Z\le z) para Z ~ Normal(0,1). Para probabilidades à direita usamos P(X>x)=1-\Phi(z). Vou explicar passo a passo como usar a tabela da normal padrão (ou uma calculadora): a tabela dá \Phi para valores de z; se precisar de um z entre entradas da tabela, podemos interpolar linearmente.

Passo 3

Resolver (a): padronizar x=120.
Calculemos
z=\frac{120-100}{15}=\frac{20}{15}=1,\overline{3}\approx 1,333\\ .
O que queremos é
P(X>120)=1-\Phi(1,333).
Agora precisamos do valor de \Phi(1,333). As tabelas usuais dão \Phi(1,33)=0,90824 e \Phi(1,34)=0,90990. Vou interpolar linearmente entre 1{,}33 e 1{,}34 para 1{,}333.

Passo 4

Interpolação linear (passo a passo):
  • Diferença de \Phi entre 1{,}34 e 1{,}33:
0,90990-0,90824=0,00166.
  • 1{,}333 está 0{,}003 acima de 1{,}33; isso é 0{,}003/0{,}01=0{,}3 da distância entre as entradas.
  • Acrescentamos 0{,}3 vezes 0{,}00166 a \Phi(1{,}33):
\Phi(1{,}333)\approx 0,90824 + 0,3\cdot 0,00166 \approx 0,90824 + 0,00050 \approx 0,90874.
(aproximação; valores de tabela variam ligeiramente; isso já é suficiente para a prova.)

Passo 5

Calculamos a probabilidade à direita:
P(X>120)=1-\Phi(1,333)\approx 1-0,90874=0,09126.
Convertendo em porcentagem:
0,09126\equiv 9,126\% \approx 9,12\%.
Interpretação curta: cerca de 9,12\% da população tem QI acima de 120.

Passo 6

Resolver (b): padronizar as extremidades do intervalo 85 e 115.
Calculemos:
z_{85}=\frac{85-100}{15}=\frac{-15}{15}=-1,
z_{115}=\frac{115-100}{15}=\frac{15}{15}=1.
Então a probabilidade de alguém ter QI entre 85 e 115 é
P(85\le X\le 115)=\Phi(1)-\Phi(-1).

Passo 7

Usando simetria da normal padrão: \Phi(-1)=1-\Phi(1). Portanto
P(85\le X\le 115)=\Phi(1)-(1-\Phi(1))=2\Phi(1)-1.
Valor conhecido da tabela: \Phi(1)=0,84134. Logo
P(85\le X\le 115)=2\cdot 0,84134-1=1,68268-1=0,68268\approx 0,68269.
Em porcentagem isso é 68,268\%, comumente arredondado para 68,27\% ou 68\%. Esse é o famoso “regra empírica” aproximado de 68\% dentro de \pm1\sigma.

Passo 8

Agora, número esperado em n=100 pessoas: o valor esperado é simplesmente n vezes a probabilidade.
\text{esperado}=100\cdot 0,68269=68,269\approx 68,27.
Em termos práticos, você esperaria cerca de 68 pessoas (valor esperado 68,27) com QI entre 85 e 115 em um grupo de 100.

Resposta

(a) 9,12\%
(b) 68,27 pessoas (esperado, aproximadamente 68 pessoas)

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