- Um teste de QI tem distribuição normal com média 100 e desvio padrão 15.
a) Qual a porcentagem da população que possui QI acima de 120 ?
b) Se um grupo de 100 pessoas fez o teste, qual o número esperado de pessoas com QI entre 85 e 115?
a) Qual a porcentagem da população que possui QI acima de 120 ?
b) Se um grupo de 100 pessoas fez o teste, qual o número esperado de pessoas com QI entre 85 e 115?
Passo 1
O enunciado dá uma prova de QI com distribuição normal com média
e desvio padrão
. Perguntas:
- Qual a porcentagem da população com QI acima de
? - Em um grupo de
pessoas, qual o número esperado de pessoas com QI entre e ?
Informações relevantes listadas:
-
-
- Para (a): limite
. - Para (b): intervalo
e tamanho do grupo .
Passo 2
Conceito que vamos usar: padronização (transformar a normal em normal padrão).
Explicação didática: a distribuição normal com média e desvio padrão
pode ser transformada numa normal padrão (média
, desvio
) usando o escore-z:
Explicação didática: a distribuição normal com média
Aqui
é o valor da variável original (QI),
é a média da população e
é o desvio padrão. Depois de calcular
usamos a função de distribuição acumulada da normal padrão, denotada por
, que dá a probabilidade
para
~ Normal(0,1). Para probabilidades à direita usamos
. Vou explicar passo a passo como usar a tabela da normal padrão (ou uma calculadora): a tabela dá
para valores de
; se precisar de um
entre entradas da tabela, podemos interpolar linearmente.
Passo 3
Resolver (a): padronizar
.
Calculemos
Calculemos
O que queremos é
Agora precisamos do valor de
. As tabelas usuais dão
e
. Vou interpolar linearmente entre
e
para
.
Passo 4
Interpolação linear (passo a passo):
- Diferença de
entre e :
-
está acima de ; isso é da distância entre as entradas. - Acrescentamos
vezes a :
(aproximação; valores de tabela variam ligeiramente; isso já é suficiente para a prova.)
Passo 5
Calculamos a probabilidade à direita:
Convertendo em porcentagem:
Interpretação curta: cerca de
da população tem QI acima de
.
Passo 6
Resolver (b): padronizar as extremidades do intervalo
e
.
Calculemos:
Calculemos:
Então a probabilidade de alguém ter QI entre
e
é
Passo 7
Usando simetria da normal padrão:
. Portanto
Valor conhecido da tabela:
. Logo
Em porcentagem isso é
, comumente arredondado para
ou
. Esse é o famoso “regra empírica” aproximado de
dentro de
.
Passo 8
Agora, número esperado em
pessoas: o valor esperado é simplesmente
vezes a probabilidade.
Em termos práticos, você esperaria cerca de
pessoas (valor esperado
) com QI entre
e
em um grupo de
.
Resposta
(a)
(b) pessoas (esperado, aproximadamente
pessoas)
(b)