A vida útil de um determinado componente eletrônico segue uma distribuição normal com média de 5000 horas e desvio padrão de 500 horas.
Qual a probabilidade de um componente durar mais de 5500 horas?
Qual a probabilidade de um componente durar mais de 5500 horas?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade.
- Informação: a vida útil de um componente é uma variável aleatória com média
horas e desvio padrão horas. - Informação: queremos a probabilidade de durar mais de
horas. - Pergunta clara: calcular
, onde representa a vida útil do componente.
Passo 2
Modelo matemático e objetivo para a prova. Vamos tratar
como uma variável normalmente distribuída e usar uma transformação padrão para calcular probabilidades. A ideia é converter
numa variável padrão
cuja distribuição é conhecida (tabela da normal padrão ou função acumulada), e então ler a probabilidade.
Passo 3
Definição da padronização (fórmula) e explicação das letras. Para qualquer variável normalmente distribuída
com média
e desvio padrão
, definimos a variável padronizada
Aqui:
-
é a média de (ou seja, o “centro” da distribuição); -
é o desvio padrão de (medida de espalhamento); -
tem distribuição normal padrão, isto é, média e desvio padrão .
Usamosporque tabelas e calculadoras dão diretamente probabilidades para .
Passo 4
Aplicando a padronização ao valor
. Substituímos
e
na fórmula:
Agora calculamos passo a passo:
, então
Passo 5
Reescrevendo a probabilidade em termos de
. Temos
Para
(normal padrão) usamos a relação
onde
é a função distribuição acumulada da normal padrão avaliada em
(ou seja,
).
Passo 6
Valor da função acumulada e conclusão numérica. A tabela da normal padrão ou calculadora dá
Portanto
Como verificação rápida por simetria da normal:
, consistente com a tabela.
Passo 7
Interpretação final em linguagem simples e dica de prova. O resultado significa que aproximadamente
dos componentes durarão mais de
horas. Na prova, se não tiver calculadora, decore que
(valor padrão) ou leve uma tabela da normal padrão.