A vida útil de um determinado componente eletrônico segue uma distribuição normal com média de 5000 horas e desvio padrão de 500 horas.
Qual a probabilidade de um componente durar mais de 5500 horas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade.
  • Informação: a vida útil de um componente é uma variável aleatória com média 5000 horas e desvio padrão 500 horas.
  • Informação: queremos a probabilidade de durar mais de 5500 horas.
  • Pergunta clara: calcular P(X>5500), onde X representa a vida útil do componente.

Passo 2

Modelo matemático e objetivo para a prova. Vamos tratar X como uma variável normalmente distribuída e usar uma transformação padrão para calcular probabilidades. A ideia é converter X numa variável padrão Z cuja distribuição é conhecida (tabela da normal padrão ou função acumulada), e então ler a probabilidade.

Passo 3

Definição da padronização (fórmula) e explicação das letras. Para qualquer variável normalmente distribuída X com média \mu e desvio padrão \sigma, definimos a variável padronizada
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui:
  • \mu é a média de X (ou seja, o “centro” da distribuição);
  • \sigma é o desvio padrão de X (medida de espalhamento);
  • Z tem distribuição normal padrão, isto é, média 0 e desvio padrão 1.
    Usamos Z porque tabelas e calculadoras dão diretamente probabilidades para Z.

Passo 4

Aplicando a padronização ao valor 5500. Substituímos \mu=5000 e \sigma=500 na fórmula:
z=\frac{5500-5000}{500}.
Agora calculamos passo a passo: 5500-5000=500, então
z=\frac{500}{500}=1.

Passo 5

Reescrevendo a probabilidade em termos de Z. Temos
P(X>5500)=P\!\left(\frac{X-5000}{500}>1\right)=P(Z>1).
Para Z (normal padrão) usamos a relação
P(Z>1)=1-\Phi(1),
onde \Phi(1) é a função distribuição acumulada da normal padrão avaliada em 1 (ou seja, \Phi(1)=P(Z\le1)).

Passo 6

Valor da função acumulada e conclusão numérica. A tabela da normal padrão ou calculadora dá
\Phi(1)=0,8413.
Portanto
P(Z>1)=1-0,8413=0,1587.
Como verificação rápida por simetria da normal: P(Z>1)=P(Z<-1)=0,1587, consistente com a tabela.

Passo 7

Interpretação final em linguagem simples e dica de prova. O resultado significa que aproximadamente 15{,}87\% dos componentes durarão mais de 5500 horas. Na prova, se não tiver calculadora, decore que \Phi(1)\approx0{,}8413 (valor padrão) ou leve uma tabela da normal padrão.

Resposta

0{,}1587
15{,}87\%

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