3. Testes de Hipóteses (Atividade 3)
Conjunto de Dados: Notas de um grupo de alunos em uma prova (máximo de 100 pontos):
Hipótese a ser testada:
-
(A média populacional das notas é igual a 80).
-
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um grupo de alunos que fizeram uma prova com notas que vão até 100 pontos. As notas são: 82, 75, 90, 88, 79, 84, 91, 73, 87 e 80. A pergunta aqui é: será que a média dessas notas realmente é 80? Para descobrir isso, vamos usar o teste de hipóteses, que é uma maneira de verificar se nossa ideia inicial (hipótese nula) faz sentido ou se temos que rejeitá-la em favor de uma outra ideia (hipótese alternativa). Precisamos calcular a média das notas, ver como elas variam e comparar com o valor da hipótese.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a média das notas. A média é a soma de todas as notas dividida pelo número de alunos. Vamos somar tudo:
Agora, dividimos pela quantidade de alunos, que são 10:
Passo 3
Agora que temos a média das notas, que é 84,9, vamos ver o quanto as notas estão espalhadas em torno dessa média. Para isso, calculamos o desvio padrão da amostra, que nos mostra essa variabilidade. Primeiro, encontramos a diferença de cada nota para a média, elevamos ao quadrado, somamos tudo e depois dividimos pelo número de alunos menos um (para a amostra). Vamos calcular:
Somando tudo:
Agora, dividimos por (10 - 1) = 9:
E o desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Passo 4
Com a média e o desvio padrão, podemos calcular o erro padrão da média, que é o desvio padrão dividido pela raiz quadrada do número de alunos. Isso nos ajuda a entender quão precisa é a nossa média amostral como estimativa da média verdadeira.
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor do t, que nos ajuda a comparar a diferença entre a média observada e a média da hipótese nula em relação ao erro padrão. Usamos a fórmula:
Onde:
- $ \bar{x} = 84,9 $ (média amostral)
- $ \mu_0 = 80 $ (média da hipótese nula)
- Erro Padrão $ \approx 2,09 $
Passo 6
Precisamos agora verificar o valor crítico do t para o nosso teste. Como não foi especificado o nível de significância, vamos usar o comum de 5% ($ \alpha = 0,05
H_1: \mu \neq 80 $), dividimos o $ \alpha $ por 2. Com 9 graus de liberdade (n-1 = 10-1), o valor crítico do t é aproximadamente 2,262.
Passo 7
Comparando o valor do t que calculamos (2,35) com o valor crítico (2,262):
- Se o t calculado for maior que o valor crítico ou menor que o negativo do valor crítico, a gente rejeita a hipótese nula.
- Aqui, 2,35 > 2,262, então a gente rejeita $ H_0 $.
Resposta
Com base nos cálculos, a média das notas é significativamente diferente de 80. Portanto, rejeitamos a hipótese nula e concluímos que a média populacional das notas não é igual a 80.