3. Testes de Hipóteses (Atividade 3)

Conjunto de Dados: Notas de um grupo de alunos em uma prova (máximo de 100 pontos):
82,75,90,88,79,84,91,73,87,80

Hipótese a ser testada:

  • H 0: mu=80 (A média populacional das notas é igual a 80).
  • H 1: mu neq 80.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um grupo de alunos que fizeram uma prova com notas que vão até 100 pontos. As notas são: 82, 75, 90, 88, 79, 84, 91, 73, 87 e 80. A pergunta aqui é: será que a média dessas notas realmente é 80? Para descobrir isso, vamos usar o teste de hipóteses, que é uma maneira de verificar se nossa ideia inicial (hipótese nula) faz sentido ou se temos que rejeitá-la em favor de uma outra ideia (hipótese alternativa). Precisamos calcular a média das notas, ver como elas variam e comparar com o valor da hipótese.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a média das notas. A média é a soma de todas as notas dividida pelo número de alunos. Vamos somar tudo:
82 + 75 + 90 + 88 + 79 + 84 + 91 + 73 + 87 + 80 = 849
Agora, dividimos pela quantidade de alunos, que são 10:
Média = 84910 = 84,9 é

Passo 3

Agora que temos a média das notas, que é 84,9, vamos ver o quanto as notas estão espalhadas em torno dessa média. Para isso, calculamos o desvio padrão da amostra, que nos mostra essa variabilidade. Primeiro, encontramos a diferença de cada nota para a média, elevamos ao quadrado, somamos tudo e depois dividimos pelo número de alunos menos um (para a amostra). Vamos calcular:
Desvios: (82-84,9)^2 = 8,41
(75-84,9)^2 = 98,01
(90-84,9)^2 = 26,01
(88-84,9)^2 = 9,61
(79-84,9)^2 = 34,81
(84-84,9)^2 = 0,81
(91-84,9)^2 = 37,21
(73-84,9)^2 = 141,61
(87-84,9)^2 = 4,41
(80-84,9)^2 = 24,01
Somando tudo:
8,41 + 98,01 + 26,01 + 9,61 + 34,81 + 0,81 + 37,21 + 141,61 + 4,41 + 24,01 = 393,1
Agora, dividimos por (10 - 1) = 9:
Variância = 393,19 approx 43,68 â
E o desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Desvio Padrão approx raiz43,68 approx 6,6 ã

Passo 4

Com a média e o desvio padrão, podemos calcular o erro padrão da média, que é o desvio padrão dividido pela raiz quadrada do número de alunos. Isso nos ajuda a entender quão precisa é a nossa média amostral como estimativa da média verdadeira.
Erro Padrão = 6,6raiz10 approx 6,63,16 approx 2,09 ã

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor do t, que nos ajuda a comparar a diferença entre a média observada e a média da hipótese nula em relação ao erro padrão. Usamos a fórmula:
t = barx - mu0Erro Padrão ã
Onde:
  • $ \bar{x} = 84,9 $ (média amostral)
  • $ \mu_0 = 80 $ (média da hipótese nula)
  • Erro Padrão $ \approx 2,09 $
barx = 84,9

Passo 6

Precisamos agora verificar o valor crítico do t para o nosso teste. Como não foi especificado o nível de significância, vamos usar o comum de 5% ($ \alpha = 0,05 alpha = 0,05 é H_1: \mu \neq 80 $), dividimos o $ \alpha $ por 2. Com 9 graus de liberdade (n-1 = 10-1), o valor crítico do t é aproximadamente 2,262.

Passo 7

Comparando o valor do t que calculamos (2,35) com o valor crítico (2,262):
  • Se o t calculado for maior que o valor crítico ou menor que o negativo do valor crítico, a gente rejeita a hipótese nula.
  • Aqui, 2,35 > 2,262, então a gente rejeita $ H_0 $.

Resposta

Com base nos cálculos, a média das notas é significativamente diferente de 80. Portanto, rejeitamos a hipótese nula e concluímos que a média populacional das notas não é igual a 80.

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