( 2,5 pontos) Um engenheiro está desenvolvendo um compósito de matriz metálica para aplicações aeroespaciais. Após diversos testes, ele concluiu que a resistência à tração desse compósito tem distribuição normal com média de 650 MPa e desvio padrão de 20 MPa
Se selecionarmos ao acaso um corpo de prova deste compósito, qual a probabilidade da resistência à tração dele ser superior a 620 Mpa ?
Se selecionarmos ao acaso um corpo de prova deste compósito, qual a probabilidade da resistência à tração dele ser superior a 620 Mpa ?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício tá falando. A gente tem um material compósito com distribuição normal na resistência à tração, ou seja, a força que ele suporta antes de quebrar segue uma curva em forma de sino. A média dessa resistência é de 650 MPa e o desvio padrão é de 20 MPa. Nosso objetivo aqui é descobrir a probabilidade de escolher, aleatoriamente, um pedaço desse material que tenha resistência maior que 620 MPa. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a distribuição normal e usar o conceito de z-score para encontrar a probabilidade desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa resistência à tração ser superior a 620 MPa. Estamos procurando a probabilidade de uma medida ser maior que 620 dentro dessa distribuição normal que temos. Isso é representado matematicamente como $ P(X > 620) $.
Passo 3
Agora, vamos calcular o z-score, que é uma maneira de padronizar nossos valores para a distribuição normal padrão (com média 0 e desvio padrão 1). A fórmula para o z-score é:
Onde:
- $ X $ é o valor que estamos analisando (620 MPa),
- $ \mu $ é a média (650 MPa),
- $ \sigma $ é o desvio padrão (20 MPa).
Substituindo os valores:
Passo 4
Com o z-score calculado, queremos saber a probabilidade de $ Z > -1,5 $ na distribuição normal padrão. Para isso, podemos usar uma tabela de distribuição normal ou uma calculadora de probabilidade.
Sabemos que a tabela de distribuição normal nos dá $ P(Z < z) $. Então, primeiro encontramos $ P(Z < -1,5) $.
Consultando a tabela, encontramos que:
Passo 5
Mas o que a gente realmente quer é $ P(Z > -1,5) $. Como a distribuição total é 1 (ou 100%), podemos calcular isso como:
Resposta
A probabilidade da resistência à tração ser superior a 620 MPa é de aproximadamente 93,3%.