( 1,75 pontos) A recalibragem do processo de resfriamento de uma câmara compressora é muito caro e deve ser feito quando estritamente necessário. Um engenheiro com o objetivo de verificar se de fato é necessária uma recalibração da câmara, necessita estimar a temperatura média da água (denotada por
). De informações prévias ele sabe que a temperatura da água é normalmente distribuída com desvio padrão de
,
Se o objetivo é estimar
utilizando um intervalo de confiança com margem de erro de
e coeficiente de confiança de
, determine qual o tamanho amostral necessário?
Se o objetivo é estimar
Passo 1
Então, vamos lá! O problema fala sobre recalibrar uma câmara de resfriamento e a necessidade de estimar a temperatura média da água (μ). Sabemos que a temperatura segue uma distribuição normal com desvio padrão de
. Queremos construir um intervalo de confiança com margem de erro de
e nível de confiança de 96%. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Estatística, especificamente sobre Intervalos de Confiança e Tamanho de Amostra.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender qual fórmula usar. Quando conhecemos o desvio padrão da população (
) e queremos estimar a média com uma certa margem de erro (E) e nível de confiança, usamos a seguinte fórmula para o tamanho da amostra (n):
Aqui,
é o valor crítico que corresponde ao nível de confiança escolhido.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o valor de
para um nível de confiança de 96%. O nível de confiança de 96% significa que queremos que a área total nas duas caudas da distribuição normal seja de 4%, ou seja, 2% em cada lado.
Buscando na tabela da distribuição normal, o valor de
que corresponde a uma área acumulada de 0,98 (96% + 2%) é aproximadamente 2,05.
Passo 4
Com o valor de
, o desvio padrão
e a margem de erro
, vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 5
Fazendo as contas dentro dos parênteses primeiro:
Agora, elevamos esse resultado ao quadrado:
Passo 6
Como o tamanho da amostra não pode ser uma fração, arredondamos para o número inteiro mais próximo. Portanto, precisamos de uma amostra de pelo menos 17 observações.
Resposta
O tamanho amostral necessário é de 17.