( 1,75 pontos) A recalibragem do processo de resfriamento de uma câmara compressora é muito caro e deve ser feito quando estritamente necessário. Um engenheiro com o objetivo de verificar se de fato é necessária uma recalibração da câmara, necessita estimar a temperatura média da água (denotada por mu ). De informações prévias ele sabe que a temperatura da água é normalmente distribuída com desvio padrão de 4^circ C,
Se o objetivo é estimar mu utilizando um intervalo de confiança com margem de erro de 2^circ C e coeficiente de confiança de 96 %, determine qual o tamanho amostral necessário?

Passo 1

Então, vamos lá! O problema fala sobre recalibrar uma câmara de resfriamento e a necessidade de estimar a temperatura média da água (μ). Sabemos que a temperatura segue uma distribuição normal com desvio padrão de 4^circC. Queremos construir um intervalo de confiança com margem de erro de 2^circC e nível de confiança de 96%. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Estatística, especificamente sobre Intervalos de Confiança e Tamanho de Amostra.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender qual fórmula usar. Quando conhecemos o desvio padrão da população ( sigma) e queremos estimar a média com uma certa margem de erro (E) e nível de confiança, usamos a seguinte fórmula para o tamanho da amostra (n):
n = ( z times sigmaE )^2
Aqui, z é o valor crítico que corresponde ao nível de confiança escolhido.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o valor de z para um nível de confiança de 96%. O nível de confiança de 96% significa que queremos que a área total nas duas caudas da distribuição normal seja de 4%, ou seja, 2% em cada lado.
Buscando na tabela da distribuição normal, o valor de z que corresponde a uma área acumulada de 0,98 (96% + 2%) é aproximadamente 2,05.

Passo 4

Com o valor de z = 2,05, o desvio padrão sigma = 4 e a margem de erro E = 2, vamos substituir esses valores na fórmula:
n = ( 2,05 times 42 )^2

Passo 5

Fazendo as contas dentro dos parênteses primeiro:
2,05 times 42 = 8,22 = 4,1
Agora, elevamos esse resultado ao quadrado:
n = (4,1)^2 = 16,81

Passo 6

Como o tamanho da amostra não pode ser uma fração, arredondamos para o número inteiro mais próximo. Portanto, precisamos de uma amostra de pelo menos 17 observações.

Resposta

O tamanho amostral necessário é de 17.

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