Os testes da primeira e segunda derivadas possibilitam uma análise sobre os pontos críticos de uma função diferenciável por meio da avaliação do comportamento das derivadas de 1ª e 2ª ordens da função. Baseado nestes testes, avalie as seguintes asserções e a relação proposta entre elas. I. A função definida por y equals 2 minus 15 x minus 9 x squared minus x cubed possui dois pontos de inflexão. PORQUE II. Aplicando o teste da 1ª derivada à função y equals 2 minus 15 x minus 9 x squared minus x cubed obtêm-se como pontos críticos x equals 2 space e space x equals 3. A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta. Escolha uma:
a. As asserções I e II são proposições verdadeiras e a II justifica a I.
b. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não justifica a I.
c. As asserções I e II são proposições falsas.
d. A asserção I é uma proposição falsa e a II, verdadeira.
e. A asserção I é uma proposição verdadeira e a II, falsa.
a. As asserções I e II são proposições verdadeiras e a II justifica a I.
b. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não justifica a I.
c. As asserções I e II são proposições falsas.
d. A asserção I é uma proposição falsa e a II, verdadeira.
e. A asserção I é uma proposição verdadeira e a II, falsa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre analisar pontos críticos e pontos de inflexão de uma função usando os testes da primeira e segunda derivadas. A gente vai precisar calcular a primeira e a segunda derivada da função $ y = 2 - 15x - 9x^2 - x^3 $ para verificar as asserções feitas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função. A primeira derivada nos ajuda a encontrar os pontos críticos, que são os valores de $ x $ onde a derivada é zero ou não existe. Pontos críticos podem indicar máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
A função dada é:
Calculando a primeira derivada:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo $ y’ = 0 $:
Vamos multiplicar todos os termos por -1 para facilitar:
Dividindo tudo por 3:
Rearranjando:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, as soluções são:
Então, os pontos críticos são $ x = -1 $ e $ x = -5 $.
Passo 4
A asserção II diz que, aplicando o teste da primeira derivada, os pontos críticos são $ x = 2 $ e $ x = 3 $. Mas vimos que os pontos críticos reais são $ x = -1 $ e $ x = -5 $. Portanto, a asserção II está falsa.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a segunda derivada para identificar os pontos de inflexão. A segunda derivada nos mostra onde a concavidade da função muda.
Calculando a segunda derivada:
Para encontrar os pontos de inflexão, resolvemos $ y’’ = 0 $:
Então, há um único ponto de inflexão em $ x = -3 $.
Passo 6
A asserção I afirma que a função possui dois pontos de inflexão. Mas descobrimos que há apenas um ponto de inflexão. Portanto, a asserção I está falsa.
Resposta
c. As asserções I e II são proposições falsas.