A Testosterona é uma droga que tem sido ministrada a atletas com a intenção de aumentar a massa muscular. Um estudo foi conduzido com 22 atletas, onde 11 receberam uma determinada dose da droga, durante um período de seis semanas, e os outros 11 receberam um placebo. Ao final desse período foi medida a largura do músculo (em mm, determinados por raio X). Encontre o intervalo de confiança a 95% para a média de cada população e para a diferença entre as médias.
Indivíduos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Placebo 3,7 5,2 4,0 4,7 4,3 3,9 4,2 4,9 5,1 4,1 4,0
Droga 13,1 16,5 15,3 15,7 14,1 15,0 15,5 16,1 15,8 14,3 15,2
IC

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos duas amostras independentes de tamanho n1=n2=11, uma recebendo placebo e outra a droga. Mediu-se a largura muscular em cada grupo e queremos, com 95 % de confiança, estimar (1) a média da população placebo mu1, (2) a média da população droga mu2 e (3) a diferença mu2-mu1. Como as variâncias são desconhecidas e assumimos que são iguais, usaremos o t-Student.

Passo 2

Calculamos as estatísticas amostrais de cada grupo.
Placebo:
barx1 = 3,7+5,2+cdots+4,011 approx 4,3727, s1^2 = sum (x1i-barx1)^210 approx 0,2662, s1approx0,5159
Droga:
barx2 = 13,1+16,5+cdots+15,211 approx 15,1455, s2^2 = sum (x2i-barx2)^210 approx 0,9648, s2approx0,9823

Passo 3

Intervalo de confiança para mu1:
Usamos
IC1 = barx1 pm t0,975,;10,s1raiz11,
onde t0,975,10=2,228 e s1raiz11approx0,1556.
Então a margem de erro é 2,228times0,1556approx0,3466 e
IC1=(4,3727-0,3466;;4,3727+0,3466)approx(4,026;;4,719)

Passo 4

Intervalo de confiança para mu2:
Usamos
IC2 = barx2 pm t0,975,;10,s2raiz11,
onde s2raiz11approx0,2963.
A margem de erro é 2,228times0,2963approx0,660 e
IC2=(15,1455-0,660;;15,1455+0,660)approx(14,49;;15,81)

Passo 5

Intervalo de confiança para mu2-mu1 (variâncias iguais):
  1. Pooled variance:
sp^2 = 10,s1^2 + 10,s2^220 = 0,6155, spapprox0,7845
  1. Erro padrão da diferença:
SE = spraiz111+111 approx 0,3345
  1. Estatística crítica t0,975,20=2,086.
    Margem de erro =2,086times0,3345approx0,697.
    A diferença amostral é barx2-barx1approx10,7728, então
ICmu2-mu1=(10,7728-0,697;;10,7728+0,697)approx(10,075;;11,470)

Resposta

IC 95 % para mu1: (4,026;;4,719)
IC 95 % para mu2: (14,49;;15,81)
IC 95 % para mu2-mu1: (10,075;;11,470)

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