\text { 23. } t^{2} y^{\prime \prime}-4 t y^{\prime}+6 y=0, & t>0 ; & y_{1}(t)=t^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial (para t>0) e uma solução conhecida:
t^{2}y''-4t y'+6y=0,\qquad t>0,
e informa que uma solução é
y_{1}(t)=t^{2}.
O que o problema nos pede (implícito) é encontrar a solução geral da equação (ou, equivalentemente, encontrar uma segunda solução independente e montar a combinação linear geral). Anotei também a condição t>0 que garante que potências t^{r} estão bem definidas e evita problemas com sinais quando usamos soluções do tipo t^{r}.

Passo 2

Motivação e ideia do método que vou usar: as potências de t costumam ser boas candidatas quando as coeficientes da equação são monômios em t (como é o caso aqui). Então tento uma solução do tipo
y(t)=t^{r},
onde r é um número a determinar. Agora calculo as derivadas usando a regra do poder (derivada de t^{r} é r t^{r-1}):
y'(t)=r t^{r-1},\qquad y''(t)=r(r-1) t^{r-2}.

Passo 3

Substituo y, y' e y'' na equação original. Cada termo é:
t^{2}y''=t^{2}\big(r(r-1) t^{r-2}\big)=r(r-1) t^{r},
-4t y'=-4t\big(r t^{r-1}\big)=-4r t^{r},
6y=6 t^{r}.
Somando tudo na equação dá
r(r-1) t^{r}-4r t^{r}+6 t^{r}=0.
Como t^{r}\neq 0 para t>0, podemos dividir por t^{r} e obter a equação algébrica (chamada equação característica)
r(r-1)-4r+6=0.
Simplificando,
r^{2}-r-4r+6=0\quad\Rightarrow\quad r^{2}-5r+6=0.
Resolvo essa quadrática:
r^{2}-5r+6=(r-2)(r-3)=0,
portanto
r=2\quad\text{ou}\quad r=3.

Passo 4

Interpretação: as raízes r=2 e r=3 correspondem às soluções y=t^{2} e y=t^{3}. O enunciado já deu y_{1}(t)=t^{2}; a outra solução obtida pela raiz r=3 é
y_{2}(t)=t^{3}.

Passo 5

Verificar que y_{1} e y_{2} são linearmente independentes (importante para formar a solução geral). Calculo o Wronskiano
W(t)=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2}\\[4pt] y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} t^{2} & t^{3}\\[4pt] 2t & 3t^{2} \end{vmatrix} = t^{2}\cdot 3t^{2}-t^{3}\cdot 2t=3t^{4}-2t^{4}=t^{4}.
Como t>0, tem-se W(t)=t^{4}\neq 0 para todo t>0. Logo y_{1} e y_{2} são independentes.]

Passo 6

Formo então a solução geral da equação como combinação linear das duas soluções independentes. Escrevo a solução geral e explico o papel das constantes:
y(t)=C_{1}t^{2}+C_{2}t^{3},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (a serem determinadas por condições iniciais, se houver).

Resposta

y(t)=C_{1}t^{2}+C_{2}t^{3}

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