2^{\mathrm{a}} Questão ( 2,5 pontos): (a) Considere um dipolo elétrico, com carga +q e -q, separadas por uma distância d, alinhado ao longo de um eixo y de um sistema de coordenadas cartesianas, com as cargas nas posições y=+d / 2 e y=-d / 2, respectivamente. Calcule o campo elétrico em um ponto do eixo y, localizado na coordenada (x, y)=(0, a), com a>d / 2 (b) Mostre que para pontos localizados muito distantes do centro do dipolo, ou seja, a \gg d / 2, o campo elétrico deve “cair” com 1/a3. Dado: \lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{n} \simeq 1+n x
Passo 1
O enunciado dá um dipolo com duas cargas pontuais: carga +q em y=+d/2 e carga -q em y=-d/2. O ponto onde queremos o campo elétrico fica no eixo y em (x,y)=(0,a) com a>d/2. As perguntas são:
(a) Calcular o campo elétrico no ponto (0,a).
(b) Mostrar que, para pontos muito distantes do dipolo (a\gg d/2), o campo diminui proporcionalmente a 1/a^{3}.
Informações dadas/úteis: posições das cargas, valor relativo a>d/2 (ou seja, o ponto está fora do segmento que une as cargas) e a dica de expansão \lim_{x\to0}(1+x)^{n}\simeq 1+n x.
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula que usamos para o campo elétrico gerado por uma carga pontual e a notação.
A constante de Coulomb é \displaystyle \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}. Vou chamar temporariamente essa constante de k, isto é \;k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}.
O campo elétrico produzido por uma carga pontual Q num ponto situado a uma distância r da carga tem magnitude \;k|Q|/r^{2}, e a direção é radial (afastando-se da carga se Q>0, aproximando-se se Q<0).
Agora identifiquemos as distâncias do ponto (0,a) até cada carga:
Distância até a carga +q (em y=+d/2): \;r_{+}=a-\dfrac{d}{2}. Observação: aqui a>d/2 garante r_{+}>0.
Distância até a carga -q (em y=-d/2): \;r_{-}=a-\bigl(-\dfrac{d}{2}\bigr)=a+\dfrac{d}{2}.
Essas duas distâncias estão sobre o mesmo eixo y, logo os campos de cada carga no ponto estarão orientados ao longo de \hat y (sem componente em x).
Passo 3
Determinar o sentido (sinal) das contribuições:
A carga +q produz um campo que aponta para longe dela. Como o ponto está em y=a e +q está em y=d/2<a, o campo devido a +q aponta no sentido positivo de y (para cima). Portanto sua contribuição é positiva em \hat y.
A carga -q produz um campo que aponta para ela (ou seja, aponta em direção a y=-d/2). Como o ponto está em y=a > -d/2, essa direção é para baixo, isto é, sentido negativo de y. Portanto a contribuição da carga -q tem sinal negativo em \hat y.
Agora escrevemos as magnitudes e somamos vetorialmente (apenas componente em y):
Como o campo só tem componente em y, o vetor campo é
\vec E(0,a)=E_{y}\,\hat y = k\,q\!\left(\dfrac{1}{\bigl(a-\dfrac{d}{2}\bigr)^{2}}-\dfrac{1}{\bigl(a+\dfrac{d}{2}\bigr)^{2}}\right)\!\hat y.
Passo 4
Agora vamos manipular essa expressão para deixá-la mais simples e mais adequada para a aproximação de grandes a. Faça a diferença de quadrados nas frações:
(a+\tfrac{d}{2})^{2}-(a-\tfrac{d}{2})^{2} = \bigl(a^{2}+a d+\tfrac{d^{2}}{4}\bigr)-\bigl(a^{2}-a d+\tfrac{d^{2}}{4}\bigr)=2 a d.
Portanto
\dfrac{1}{(a-\tfrac{d}{2})^{2}}-\dfrac{1}{(a+\tfrac{d}{2})^{2}} =\dfrac{2 a d}{\bigl(a^{2}-\tfrac{d^{2}}{4}\bigr)^{2}}.
Substituindo em \vec E:
\vec E(0,a)=k\,q\,\dfrac{2 a d}{\bigl(a^{2}-\tfrac{d^{2}}{4}\bigr)^{2}}\,\hat y.
Passo 5
É usual definir o momento dipolar \vec p como \vec p=q\,\vec d apontando do sinal negativo para o positivo. No nosso caso o dipolo está ao longo de \hat y e \;p=q d (módulo), então podemos escrever de forma compacta:
\vec E(0,a)=k\,\dfrac{2 a\,p}{\bigl(a^{2}-\tfrac{d^{2}}{4}\bigr)^{2}}\,\hat y.
Essa é uma forma exata (dentro do modelo de cargas pontuais) válida para qualquer a>d/2.
Passo 6
Agora vamos obter a dependência assintótica quando a\gg d/2. Defina o pequeno parâmetro
\vec E(0,a)=k\,\dfrac{2 a p}{a^{4}(1-\varepsilon)^{2}}\,\hat y = k\,\dfrac{2 p}{a^{3}}\cdot\dfrac{1}{(1-\varepsilon)^{2}}\,\hat y.
Para \varepsilon\ll1 usamos a dica dada: \displaystyle (1+x)^{n}\simeq 1+n x quando x\to0. Aqui tome x=-\varepsilon e n=-2. Então
(1-\varepsilon)^{-2}\simeq 1+2\varepsilon.
Substituindo de volta:
\vec E(0,a)\simeq k\,\dfrac{2 p}{a^{3}}\bigl(1+2\varepsilon\bigr)\,\hat y = k\,\dfrac{2 p}{a^{3}}\left(1+2\cdot\dfrac{d^{2}}{4a^{2}}\right)\hat y = k\,\dfrac{2 p}{a^{3}}\left(1+\dfrac{d^{2}}{2a^{2}}\right)\hat y.
O termo dominante para a\gg d/2 é, portanto,
\vec E(0,a)\approx k\,\dfrac{2 p}{a^{3}}\,\hat y.
Isso mostra explicitamente que o campo no eixo do dipolo, para grandes distâncias, decai como 1/a^{3}. (Os termos seguintes são correções de ordem 1/a^{5}.)
Passo 7
Resumo físico e dica para a prova: a contribuição dos dois campos se subtrai porque as cargas têm sinais opostos; a expressão exata pode ser simplificada introduzindo p=q d; para a\gg d usar expansão binomial (a dica do enunciado) leva ao termo dominante \propto p/a^{3}. Memorize a forma axial do campo de um dipolo para distâncias grandes: \vec E_{\text{eixo}}\simeq (1/4\pi\varepsilon_0)\,2\vec p/a^{3}.
Resposta
(a) \displaystyle \vec E(0,a)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\;q\!\left(\dfrac{1}{\bigl(a-\dfrac{d}{2}\bigr)^{2}}-\dfrac{1}{\bigl(a+\dfrac{d}{2}\bigr)^{2}}\right)\!\hat y
=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\;\dfrac{2 a\,q d}{\bigl(a^{2}-\dfrac{d^{2}}{4}\bigr)^{2}}\,\hat y.
(b) Para a\gg d/2: \displaystyle \vec E(0,a)\simeq\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\;\dfrac{2\,p}{a^{3}}\,\hat y\quad\text{com }p=q d, ou seja, o campo cai como 1/a^{3}.