Calcule as integrais a seguir usando técnicas de integração por substituição ou por partes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas que vamos usar:
- A função integranda é
. - Queremos uma primitiva (a integral indefinida) dessa função, isto é, uma expressão que derivada dê a integranda, mais uma constante de integração
.
Passo 2
Primeiro, simplificamos a expressão dentro da integral para ficar mais manejável. Fatoramos
de
:
Agora elevamos à potência
:
Como
, obtemos
Logo a integranda fica
Passo 3
Agora escolhemos uma substituição conveniente. Observa que
tem
multiplicando uma função de
. Uma boa escolha é definir
Calculamos o diferencial:
Aqui a ideia da substituição é trocar a variável
por
de modo que a integral se transforme numa integral de potências simples de
, que são fáceis de integrar.
Passo 4
Substituindo
e
na integral, temos
Fazendo a constante fora da integral:
portanto a integral vira
Passo 5
Integrar uma potência de
usa a regra básica:
Aqui
, então
. Aplicando a fórmula,
Multiplicando pela constante
:
Passo 6
Voltando à variável
usando
, obtemos a primitiva
Escrevendo de forma mais familiar com raiz:
Se quiser confirmar, pode derivar essa expressão e verificar que retorna à integranda original.