6{ }^{\text {a) }} Calcule as integrais a seguir usando técnicas de integração por substituição ou por partes:
\int \frac{x}{\left(4 x^{2}+4\right)^{3 / 2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x}{\left(4 x^{2}+4\right)^{3/2}}\,dx.
Informações dadas que vamos usar:
  • A função integranda é \dfrac{x}{(4x^{2}+4)^{3/2}}.
  • Queremos uma primitiva (a integral indefinida) dessa função, isto é, uma expressão que derivada dê a integranda, mais uma constante de integração C.

Passo 2

Primeiro, simplificamos a expressão dentro da integral para ficar mais manejável. Fatoramos 4 de 4x^{2}+4:
4x^{2}+4 = 4(x^{2}+1).
Agora elevamos à potência 3/2:
\left(4(x^{2}+1)\right)^{3/2} = 4^{3/2}\,(x^{2}+1)^{3/2}.
Como 4^{3/2}=(\sqrt{4})^{3}=2^{3}=8, obtemos
\left(4x^{2}+4\right)^{3/2} = 8\,(x^{2}+1)^{3/2}.
Logo a integranda fica
\frac{x}{\left(4x^{2}+4\right)^{3/2}}=\frac{x}{8\,(x^{2}+1)^{3/2}}=\frac{1}{8}\,x\,(x^{2}+1)^{-3/2}.

Passo 3

Agora escolhemos uma substituição conveniente. Observa que x\,(x^{2}+1)^{-3/2} tem x multiplicando uma função de x^{2}+1. Uma boa escolha é definir
u = x^{2}+1.
Calculamos o diferencial:
du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Aqui a ideia da substituição é trocar a variável x por u de modo que a integral se transforme numa integral de potências simples de u, que são fáceis de integrar.

Passo 4

Substituindo x\,dx=\dfrac{1}{2}du e (x^{2}+1)=u na integral, temos
\int \frac{1}{8}\,x\,(x^{2}+1)^{-3/2}\,dx = \frac{1}{8}\int (x\,dx)\,u^{-3/2} = \frac{1}{8}\int \frac{1}{2}\,u^{-3/2}\,du.
Fazendo a constante fora da integral:
\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{16},
portanto a integral vira
\frac{1}{16}\int u^{-3/2}\,du.

Passo 5

Integrar uma potência de u usa a regra básica:
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}\quad\text{para }n\neq -1.
Aqui n=-\tfrac{3}{2}, então n+1=-\tfrac{1}{2}. Aplicando a fórmula,
\int u^{-3/2}\,du = \frac{u^{-1/2}}{-1/2} = -2\,u^{-1/2}.
Multiplicando pela constante \tfrac{1}{16}:
\frac{1}{16}\int u^{-3/2}\,du = \frac{1}{16}\cdot\bigl(-2\,u^{-1/2}\bigr) = -\frac{2}{16}\,u^{-1/2} = -\frac{1}{8}\,u^{-1/2}.

Passo 6

Voltando à variável x usando u=x^{2}+1, obtemos a primitiva
-\frac{1}{8}\,(x^{2}+1)^{-1/2}+C.
Escrevendo de forma mais familiar com raiz:
-\frac{1}{8\,\sqrt{x^{2}+1}}+C.
Se quiser confirmar, pode derivar essa expressão e verificar que retorna à integranda original.

Resposta

-\dfrac{1}{8\sqrt{x^{2}+1}}+C

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