Calcule o volume do sólido obtido ao girar a região delimitada pelas curvas y=\operatorname{arctg}(2 x), y=0 e x=\frac{1}{2} ao redor da reta x=2.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar a região limitada por y=\operatorname{arctg}(2x), y=0 e x=\dfrac{1}{2} em torno da reta x=2.
Informações relevantes dadas:
A curva superior é y=\operatorname{arctg}(2x).
A fronteira inferior é o eixo y=0.
A fronteira vertical direita é x=\dfrac{1}{2}.
A interseção de \operatorname{arctg}(2x) com y=0 ocorre em x=0, pois \operatorname{arctg}(0)=0.
Portanto a região em x vai de x=0 até x=\dfrac{1}{2} e, para cada x nesse intervalo, a altura do segmento vertical é y=\operatorname{arctg}(2x).
O que se pede:
Calcular o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno da reta vertical x=2.
Passo 2
Escolha do método de cálculo do volume e justificativa (explicação didática e sem assunções):
Para sólidos de revolução em torno de uma reta vertical, duas técnicas comuns são:
Método das cascas cilíndricas (shells): tomar fatias verticais (paralelas ao eixo de rotação) e somar volumes de cascas cilíndricas finas.
Método dos discos/aneis (washers): tomar fatias horizontais e formar anéis ao girar cada fatia.
Aqui a região é naturalmente descrita por x variando de 0 a \tfrac{1}{2} e a altura é dada por y=\operatorname{arctg}(2x). Girar em torno de x=2 é mais simples com cascas cilíndricas (cada fatia vertical ao longo de x gera uma casca).
Fórmula do método das cascas cilíndricas: se se toma fatias verticais em x\in[a,b], cada casca tem raio r(x) (distância do centro da casca até o eixo de rotação), altura h(x) (a função que descreve a extensão da região na direção vertical) e espessura dx. O volume aproximado da casca é 2\pi\,r(x)\,h(x)\,dx. Assim o volume total éV = \int_{a}^{b} 2\pi\,r(x)\,h(x)\,dx.Aqui r(x) e h(x) devem ser identificadas no problema.
Passo 3
Identificação de r(x), h(x) e montagem do integral:
Raio da casca: distância horizontal entre o ponto x e a reta de rotação x=2. Logor(x)=2-x.(Note que para x\in[0,\tfrac{1}{2}] essa distância é positiva.)
Altura da casca: é a altura da região naquele x, isto é a diferença entre a curva superior e a inferior:h(x)=\operatorname{arctg}(2x)-0=\operatorname{arctg}(2x).
Portanto o volume éV = \int_{0}^{1/2} 2\pi\,(2-x)\,\operatorname{arctg}(2x)\,dx.
Passo 4
Simplificação do integral por substituição para facilitar a integração:
Faço a substituição u=2x. Então du=2\,dx ou dx=\dfrac{du}{2}.
Os limites: quando x=0 tem u=0; quando x=\tfrac{1}{2} tem u=1.
Substituindo no integrando:2-x = 2 - \frac{u}{2} = 1\cdot 2 - \frac{u}{2} \quad\text{(mas vamos simplificar no passo seguinte)},e \operatorname{arctg}(2x)=\operatorname{arctg}(u).
Simplificando o fator \dfrac{1}{2}:V = 2\pi \int_{0}^{1} \Big(1-\frac{u}{4}\Big)\operatorname{arctg}(u)\,du.
Agora separei em duas integrais mais simples:V = 2\pi\left(\int_{0}^{1}\operatorname{arctg}(u)\,du \;-\; \frac{1}{4}\int_{0}^{1} u\,\operatorname{arctg}(u)\,du\right).Vou calcular cada uma dessas integrais separadamente, usando integração por partes quando necessário.
Passo 5
Cálculo de \displaystyle \int_{0}^{1}\operatorname{arctg}(u)\,du (detalhado):
Usar integração por partes: tomo A(u)=\operatorname{arctg}(u) e dB(u)=du.
Então A'(u)=\dfrac{1}{1+u^{2}} e B(u)=u.
Fórmula: \displaystyle \int A\,dB = A B - \int B\,A'\,du.
A integral \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{u}{1+u^{2}}\,du usa a substituição t=1+u^{2}, dt=2u\,du, logo\int_{0}^{1}\frac{u}{1+u^{2}}\,du = \frac{1}{2}\int_{t=1}^{2}\frac{1}{t}\,dt = \frac{1}{2}\ln t\Big|_{1}^{2} = \frac{1}{2}\ln 2.