Calcule o volume do sólido obtido ao girar a região delimitada pelas curvas y=\operatorname{arctg}(2 x), y=0 e x=\frac{1}{2} ao redor da reta x=2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar a região limitada por y=\operatorname{arctg}(2x), y=0 e x=\dfrac{1}{2} em torno da reta x=2.
Informações relevantes dadas:
  • A curva superior é y=\operatorname{arctg}(2x).
  • A fronteira inferior é o eixo y=0.
  • A fronteira vertical direita é x=\dfrac{1}{2}.
  • A interseção de \operatorname{arctg}(2x) com y=0 ocorre em x=0, pois \operatorname{arctg}(0)=0.
  • Portanto a região em x vai de x=0 até x=\dfrac{1}{2} e, para cada x nesse intervalo, a altura do segmento vertical é y=\operatorname{arctg}(2x).
O que se pede:
  • Calcular o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno da reta vertical x=2.

Passo 2

Escolha do método de cálculo do volume e justificativa (explicação didática e sem assunções):
  • Para sólidos de revolução em torno de uma reta vertical, duas técnicas comuns são:
    1. Método das cascas cilíndricas (shells): tomar fatias verticais (paralelas ao eixo de rotação) e somar volumes de cascas cilíndricas finas.
    2. Método dos discos/aneis (washers): tomar fatias horizontais e formar anéis ao girar cada fatia.
  • Aqui a região é naturalmente descrita por x variando de 0 a \tfrac{1}{2} e a altura é dada por y=\operatorname{arctg}(2x). Girar em torno de x=2 é mais simples com cascas cilíndricas (cada fatia vertical ao longo de x gera uma casca).
  • Fórmula do método das cascas cilíndricas: se se toma fatias verticais em x\in[a,b], cada casca tem raio r(x) (distância do centro da casca até o eixo de rotação), altura h(x) (a função que descreve a extensão da região na direção vertical) e espessura dx. O volume aproximado da casca é 2\pi\,r(x)\,h(x)\,dx. Assim o volume total é V = \int_{a}^{b} 2\pi\,r(x)\,h(x)\,dx.Aqui r(x) e h(x) devem ser identificadas no problema.

Passo 3

Identificação de r(x), h(x) e montagem do integral:
  • Raio da casca: distância horizontal entre o ponto x e a reta de rotação x=2. Logo r(x)=2-x.(Note que para x\in[0,\tfrac{1}{2}] essa distância é positiva.)
  • Altura da casca: é a altura da região naquele x, isto é a diferença entre a curva superior e a inferior: h(x)=\operatorname{arctg}(2x)-0=\operatorname{arctg}(2x).
  • Portanto o volume é V = \int_{0}^{1/2} 2\pi\,(2-x)\,\operatorname{arctg}(2x)\,dx.

Passo 4

Simplificação do integral por substituição para facilitar a integração:
  • Faço a substituição u=2x. Então du=2\,dx ou dx=\dfrac{du}{2}.
  • Os limites: quando x=0 tem u=0; quando x=\tfrac{1}{2} tem u=1.
  • Substituindo no integrando: 2-x = 2 - \frac{u}{2} = 1\cdot 2 - \frac{u}{2} \quad\text{(mas vamos simplificar no passo seguinte)},e \operatorname{arctg}(2x)=\operatorname{arctg}(u).
  • Substituindo tudo, V = 2\pi \int_{0}^{1/2} (2-x)\,\operatorname{arctg}(2x)\,dx = 2\pi \int_{0}^{1} \Big(2-\frac{u}{2}\Big)\operatorname{arctg}(u)\cdot\frac{du}{2}.
  • Simplificando o fator \dfrac{1}{2}: V = 2\pi \int_{0}^{1} \Big(1-\frac{u}{4}\Big)\operatorname{arctg}(u)\,du.
  • Agora separei em duas integrais mais simples: V = 2\pi\left(\int_{0}^{1}\operatorname{arctg}(u)\,du \;-\; \frac{1}{4}\int_{0}^{1} u\,\operatorname{arctg}(u)\,du\right).Vou calcular cada uma dessas integrais separadamente, usando integração por partes quando necessário.

Passo 5

Cálculo de \displaystyle \int_{0}^{1}\operatorname{arctg}(u)\,du (detalhado):
  • Usar integração por partes: tomo A(u)=\operatorname{arctg}(u) e dB(u)=du.
    Então A'(u)=\dfrac{1}{1+u^{2}} e B(u)=u.
  • Fórmula: \displaystyle \int A\,dB = A B - \int B\,A'\,du.
  • Aplicando: \int_{0}^{1}\operatorname{arctg}(u)\,du = \Big[u\operatorname{arctg}(u)\Big]_0^1 - \int_{0}^{1} \frac{u}{1+u^{2}}\,du.
  • Calcule cada termo:
    • \displaystyle \Big[u\operatorname{arctg}(u)\Big]_0^1 = 1\cdot \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}.
    • A integral \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{u}{1+u^{2}}\,du usa a substituição t=1+u^{2}, dt=2u\,du, logo \int_{0}^{1}\frac{u}{1+u^{2}}\,du = \frac{1}{2}\int_{t=1}^{2}\frac{1}{t}\,dt = \frac{1}{2}\ln t\Big|_{1}^{2} = \frac{1}{2}\ln 2.
  • Portanto \int_{0}^{1}\operatorname{arctg}(u)\,du = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln 2.

Passo 6

Cálculo de \displaystyle \int_{0}^{1} u\,\operatorname{arctg}(u)\,du (detalhado):
  • Usar integração por partes: tome P(u)=\operatorname{arctg}(u) e dQ(u)=u\,du.
    Então P'(u)=\dfrac{1}{1+u^{2}} e Q(u)=\dfrac{u^{2}}{2}.
  • Aplicando a fórmula: \int_{0}^{1} u\,\operatorname{arctg}(u)\,du = \Big[\frac{u^{2}}{2}\operatorname{arctg}(u)\Big]_0^1 - \int_{0}^{1}\frac{u^{2}/2}{1+u^{2}}\,du.
  • Simplificar o integrando da segunda parcela: \frac{u^{2}/2}{1+u^{2}} = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{2}}{1+u^{2}} = \frac{1}{2}\Big(1 - \frac{1}{1+u^{2}}\Big),porque \dfrac{u^{2}}{1+u^{2}} = 1 - \dfrac{1}{1+u^{2}}.
  • Logo \int_{0}^{1}\frac{u^{2}/2}{1+u^{2}}\,du = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}1\,du - \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{1}{1+u^{2}}\,du.
  • Calcule os termos:
    • \displaystyle \Big[\frac{u^{2}}{2}\operatorname{arctg}(u)\Big]_0^1 = \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{8}.
    • \displaystyle \frac{1}{2}\int_{0}^{1}1\,du = \frac{1}{2}\cdot 1 = \frac{1}{2}.
    • \displaystyle \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{1}{1+u^{2}}\,du = \frac{1}{2}\Big[\operatorname{arctg}(u)\Big]_0^1 = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8}.
  • Assim a subtração fica: \int_{0}^{1}\frac{u^{2}/2}{1+u^{2}}\,du = \frac{1}{2} - \frac{\pi}{8}.
  • Voltando ao resultado principal: \int_{0}^{1} u\,\operatorname{arctg}(u)\,du = \frac{\pi}{8} - \Big(\frac{1}{2} - \frac{\pi}{8}\Big) = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} + \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}.

Passo 7

Reunião dos resultados e simplificação final do integral para o volume:
  • Lembremos que V = 2\pi\left(\int_{0}^{1}\operatorname{arctg}(u)\,du \;-\; \frac{1}{4}\int_{0}^{1} u\,\operatorname{arctg}(u)\,du\right).
  • Substituindo os valores que achamos: \int_{0}^{1}\operatorname{arctg}(u)\,du = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln 2, \qquad \int_{0}^{1} u\,\operatorname{arctg}(u)\,du = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}.
  • Então V = 2\pi\left(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln 2 \;-\; \frac{1}{4}\Big(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\Big)\right).
  • Calcule o interior passo a passo: \frac{\pi}{4} - \frac{1}{4}\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}\left(1-\frac{1}{4}\right)=\frac{\pi}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3\pi}{16}.E -\frac{1}{2}\ln 2 - \left(-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}\right)= -\frac{1}{2}\ln 2 + \frac{1}{8}.
  • Somando: \text{colchete} = \frac{3\pi}{16} - \frac{1}{2}\ln 2 + \frac{1}{8}.
  • Multiplicando por 2\pi: V = 2\pi\left(\frac{3\pi}{16}\right) - 2\pi\left(\frac{1}{2}\ln 2\right) + 2\pi\left(\frac{1}{8}\right).Simplificando cada termo: 2\pi\cdot\frac{3\pi}{16}=\frac{3\pi^{2}}{8},\qquad 2\pi\cdot\frac{1}{2}\ln 2=\pi\ln 2,\qquad 2\pi\cdot\frac{1}{8}=\frac{\pi}{4}.
  • Portanto a expressão final (simplificada) para o volume é obtida e será apresentada a seguir.

Resposta

V=\frac{3\pi^{2}}{8}+\frac{\pi}{4}-\pi\ln 2

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