6{ }^{\text {a) }} Calcule as integrais a seguir usando técnicas de integração por substituição ou por partes:
\int y^{2} e^{-2 y} d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int y^{2} e^{-2 y}\, dy.
Informações dadas:
  • A função a integrar é y^{2} e^{-2y}.
  • É uma integral indefinida (logo o resultado terá uma constante de integração C).
  • Não há restrições adicionais nem valores numéricos para y.

Passo 2

Estratégia: quando temos um polinômio em y multiplicando uma exponencial (aqui y^{2} vezes e^{-2y}), a técnica mais direta é a integração por partes repetida. Vou usar a fórmula de integração por partes:
\int u\, dv = u v - \int v\, du,
onde:
  • u é uma função que escolhemos para derivar (a derivada de u deve simplificar);
  • dv é o restante do integrando que escolhemos para integrar;
  • du é a derivada de u;
  • v é uma primitiva de dv.
Explicando com calma: escolhemos u de modo que sua derivada reduza o grau do polinômio (por exemplo de y^{2} para y), e escolhemos dv como a exponencial porque sabemos integrar exponenciais facilmente.

Passo 3

Aplicando a primeira integração por partes: escolho
u = y^{2},\qquad dv = e^{-2y}\, dy.
Calculo du e v:
du = 2y\, dy.
Para obter v preciso de \int e^{-2y}\, dy. Observando que \frac{d}{dy} e^{-2y} = -2 e^{-2y}, uma primitiva é
v = \int e^{-2y}\, dy = -\tfrac{1}{2} e^{-2y}.
Agora aplico a fórmula:
\int y^{2} e^{-2y}\, dy = u v - \int v\, du = \left(y^{2}\right)\left(-\tfrac{1}{2} e^{-2y}\right) - \int \left(-\tfrac{1}{2} e^{-2y}\right)\left(2y\, dy\right).
Simplificando os sinais e constantes:
\int y^{2} e^{-2y}\, dy = -\tfrac{1}{2} y^{2} e^{-2y} + \int y e^{-2y}\, dy.
Denotando I=\int y^{2} e^{-2y}\, dy e J=\int y e^{-2y}\, dy, temos
I = -\tfrac{1}{2} y^{2} e^{-2y} + J.

Passo 4

Agora calculo J=\int y e^{-2y}\, dy por integração por partes novamente. Escolho
u = y,\qquad dv = e^{-2y}\, dy.
Então
du = dy,\qquad v = -\tfrac{1}{2} e^{-2y}
(conforme antes). Aplicando a fórmula:
J = u v - \int v\, du = y\left(-\tfrac{1}{2} e^{-2y}\right) - \int \left(-\tfrac{1}{2} e^{-2y}\right)\, dy.
Isto é
J = -\tfrac{1}{2} y e^{-2y} + \tfrac{1}{2}\int e^{-2y}\, dy.
Calculando a integral restante:
\int e^{-2y}\, dy = -\tfrac{1}{2} e^{-2y}.
Logo
J = -\tfrac{1}{2} y e^{-2y} + \tfrac{1}{2}\left(-\tfrac{1}{2} e^{-2y}\right) = -\tfrac{1}{2} y e^{-2y} - \tfrac{1}{4} e^{-2y}.

Passo 5

Volto para I e substituo J:
I = -\tfrac{1}{2} y^{2} e^{-2y} + \left(-\tfrac{1}{2} y e^{-2y} - \tfrac{1}{4} e^{-2y}\right).
Agrupando termos com o fator comum e^{-2y}:
I = -e^{-2y}\left(\tfrac{1}{2} y^{2} + \tfrac{1}{2} y + \tfrac{1}{4}\right).
Podemos escrever de forma compacta factorizando -\tfrac{1}{4}:
I = -\tfrac{1}{4} e^{-2y}\left(2 y^{2} + 2 y + 1\right) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, mas bom para confiança): derivando a primitiva encontrada deve voltar o integrando. Seja
F(y) = -\tfrac{1}{4} e^{-2y}\left(2 y^{2} + 2 y + 1\right).
Usando a regra do produto e a derivada de e^{-2y}, obtém-se após simplificação F'(y) = y^{2} e^{-2y}, confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

-\dfrac{1}{4} e^{-2y}\left(2 y^{2} + 2 y + 1\right) + C

Exercícios relacionados