Calcule as integrais a seguir usando técnicas de integração por substituição ou por partes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - É uma integral indefinida (logo o resultado terá uma constante de integração
). - Não há restrições adicionais nem valores numéricos para
.
Passo 2
Estratégia: quando temos um polinômio em
multiplicando uma exponencial (aqui
vezes
), a técnica mais direta é a integração por partes repetida. Vou usar a fórmula de integração por partes:
onde:
-
é uma função que escolhemos para derivar (a derivada de deve simplificar); -
é o restante do integrando que escolhemos para integrar; -
é a derivada de ; -
é uma primitiva de .
Explicando com calma: escolhemos
de modo que sua derivada reduza o grau do polinômio (por exemplo de
para
), e escolhemos
como a exponencial porque sabemos integrar exponenciais facilmente.
Passo 3
Aplicando a primeira integração por partes: escolho
Calculo
e
:
Para obter
preciso de
. Observando que
, uma primitiva é
Agora aplico a fórmula:
Simplificando os sinais e constantes:
Denotando
e
, temos
Passo 4
Agora calculo
por integração por partes novamente. Escolho
Então
(conforme antes). Aplicando a fórmula:
Isto é
Calculando a integral restante:
Logo
Passo 5
Volto para
e substituo
:
Agrupando termos com o fator comum
:
Podemos escrever de forma compacta factorizando
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Verificação rápida (opcional, mas bom para confiança): derivando a primitiva encontrada deve voltar o integrando. Seja
Usando a regra do produto e a derivada de
, obtém-se após simplificação
, confirmando que a primitiva está correta.