6{ }^{\text {a) }} Calcule as integrais a seguir usando técnicas de integração por substituição ou por partes:
\int \operatorname{arctg}(5 z) d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \operatorname{arctg}(5 z)\,dz.
Informações dadas: a função a integrar é \operatorname{arctg}(5z) (arcotangente com argumento 5z). Não há outras restrições.

Passo 2

Escolha do método: vamos usar a fórmula de integração por partes, que é apropriada quando a integranda é produto de uma função que simplifica ao derivar (como arctg) por outra simples (como 1, aqui via dz). A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e dv são partes escolhidas da integranda. Explicando: escolhe-se u para que du fique mais simples; escolhe-se dv para que se possa integrar facilmente e obter v.
Também vamos usar a regra da cadeia para derivar \operatorname{arctg}(5z). Lembrando que
\frac{d}{dz}\big(\operatorname{arctg}(w)\big)=\frac{1}{1+w^{2}}\cdot\frac{dw}{dz}.
Aplicando com w=5z teremos a derivada de \operatorname{arctg}(5z) abaixo.

Passo 3

Definimos as partes para integrar por partes:
u=\operatorname{arctg}(5z),\qquad dv=dz.
Calculamos du e v:
Derivando u pela regra da cadeia,
du=\frac{d}{dz}\big(\operatorname{arctg}(5z)\big)\,dz=\frac{1}{1+(5z)^{2}}\cdot 5\,dz=\frac{5}{1+25z^{2}}\,dz.
Integrando dv,
v=\int dv=\int dz=z.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int \operatorname{arctg}(5z)\,dz = uv - \int v\,du = z\operatorname{arctg}(5z) - \int z\cdot\frac{5}{1+25z^{2}}\,dz.
Colocando o fator constante para fora da integral:
\int \operatorname{arctg}(5z)\,dz = z\operatorname{arctg}(5z) - 5\int \frac{z}{1+25z^{2}}\,dz.

Passo 5

Calcular a integral restante por substituição. Seja
t=1+25z^{2}.
Então
dt=50z\,dz \quad\Rightarrow\quad z\,dz=\frac{dt}{50}.
Substituindo na integral:
5\int \frac{z}{1+25z^{2}}\,dz = 5\int \frac{1}{t}\cdot\frac{dt}{50} = \frac{5}{50}\int \frac{dt}{t} = \frac{1}{10}\ln|t| + C,
onde C é constante de integração. Como t=1+25z^{2}>0 para todo z, podemos escrever \ln|t|=\ln(1+25z^{2}).

Passo 6

Voltando à expressão original e reunindo os termos:
\int \operatorname{arctg}(5z)\,dz = z\operatorname{arctg}(5z) - \frac{1}{10}\ln\big(1+25z^{2}\big) + C,
onde \,C é a constante de integração.

Resposta

z\operatorname{arctg}(5z)-\dfrac{1}{10}\ln\big(1+25z^{2}\big)+C

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