Calcule as integrais a seguir usando técnicas de integração por substituição ou por partes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas: a função a integrar é
(arcotangente com argumento
). Não há outras restrições.
Passo 2
Escolha do método: vamos usar a fórmula de integração por partes, que é apropriada quando a integranda é produto de uma função que simplifica ao derivar (como arctg) por outra simples (como
, aqui via
). A fórmula de integração por partes é
onde
e
são partes escolhidas da integranda. Explicando: escolhe-se
para que
fique mais simples; escolhe-se
para que se possa integrar facilmente e obter
.
Também vamos usar a regra da cadeia para derivar
. Lembrando que
Aplicando com
teremos a derivada de
abaixo.
Passo 3
Definimos as partes para integrar por partes:
Calculamos
e
:
Derivando pela regra da cadeia,
Derivando
Integrando
,
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Colocando o fator constante para fora da integral:
Passo 5
Calcular a integral restante por substituição. Seja
Então
Substituindo na integral:
onde
é constante de integração. Como
para todo
, podemos escrever
.
Passo 6
Voltando à expressão original e reunindo os termos:
onde
é a constante de integração.