6{ }^{\text {a) }} Calcule as integrais a seguir usando técnicas de integração por substituição ou por partes:
\int \cos 7 x(\operatorname{sen} 7 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \cos 7x \; (\operatorname{sen} 7x)\, dx.
Informações úteis dadas pelo enunciado (sem resolver ainda):
  • A função a integrar é o produto de \cos 7x por \operatorname{sen}7x.
  • Derivadas que podem ser úteis: \frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}7x\big)=7\cos7x, \qquad \frac{d}{dx}\big(\cos7x\big)=-7\operatorname{sen}7x.
  • Identidade trigonométrica que também pode ser usada: 2\operatorname{sen}7x\cos7x=\operatorname{sen}14x.

Passo 2

Escolhendo uma técnica prática: usar substituição simples aproveitando que a derivada de \operatorname{sen}7x é um múltiplo de \cos7x. Isso torna a integral um caso direto de substituir uma função pela sua derivada (padrão muito comum em provas).

Passo 3

Fazer a substituição. Seja
u=\operatorname{sen}7x.
Então, derivando ambos os lados em relação a x,
du = 7\cos7x\,dx.
Isolando \cos7x\,dx obtemos
\cos7x\,dx=\frac{1}{7}\,du.

Passo 4

Substituir na integral original. Temos
\int \cos7x\;(\operatorname{sen}7x)\,dx = \int u\cdot\left(\frac{1}{7}\,du\right).
Factorizando a constante:
= \frac{1}{7}\int u\,du.

Passo 5

Integrar em u. A integral de u em relação a u é \dfrac{u^{2}}{2}. Logo
\frac{1}{7}\int u\,du=\frac{1}{7}\cdot\frac{u^{2}}{2}=\frac{u^{2}}{14}+C.
Voltando à variável x usando u=\operatorname{sen}7x, obtemos
\frac{\operatorname{sen}^{2}7x}{14}+C.

Passo 6

Verificação (opcional, método alternativo e checagem): usando a identidade de ângulo duplo
\operatorname{sen}14x=2\operatorname{sen}7x\cos7x
temos
\cos7x\operatorname{sen}7x=\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}14x.
Integrando,
\int \tfrac{1}{2}\operatorname{sen}14x\,dx = -\tfrac{1}{28}\cos14x + C.
As duas formas são equivalentes porque
\frac{\operatorname{sen}^{2}7x}{14}=-\frac{\cos14x}{28}+\text{const},
conforme a identidade \operatorname{sen}^{2}\theta=\tfrac{1-\cos2\theta}{2}.

Resposta

\dfrac{\operatorname{sen}^{2}7x}{14}+C

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