Calcule as integrais a seguir usando técnicas de integração por substituição ou por partes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações úteis dadas pelo enunciado (sem resolver ainda):
- A função a integrar é o produto de
por . - Derivadas que podem ser úteis:
- Identidade trigonométrica que também pode ser usada:
Passo 2
Escolhendo uma técnica prática: usar substituição simples aproveitando que a derivada de
é um múltiplo de
. Isso torna a integral um caso direto de substituir uma função pela sua derivada (padrão muito comum em provas).
Passo 3
Fazer a substituição. Seja
Então, derivando ambos os lados em relação a
,
Isolando
obtemos
Passo 4
Substituir na integral original. Temos
Factorizando a constante:
Passo 5
Integrar em
. A integral de
em relação a
é
. Logo
Voltando à variável
usando
, obtemos
Passo 6
Verificação (opcional, método alternativo e checagem): usando a identidade de ângulo duplo
temos
Integrando,
As duas formas são equivalentes porque
conforme a identidade
.