Calcule as integrais a seguir usando técnicas de integração por substituição ou por partes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações relevantes que temos:
- A variável de integração é
. - O integrando é o produto de
e . - A integral é indefinida (devemos incluir a constante de integração
). - Note que
porque aparece .
Passo 2
Ideia de método (substituição): procurar dentro do integrando uma função cujo derivada aparece multiplicando-a. Aqui aparece
; a função interna é
. Vamos verificar a derivada de
:
Ou seja, a derivada de
é
. Isso sugere a substituição
Passo 3
Computar
e isolar
. Derivando
em relação a
:
Isolando
obtemos
Passo 4
Fazer a substituição na integral. Substituindo
e
temos
Aqui puxei a constante
para fora da integral, que é uma operação válida.
Passo 5
Integrar em
. A integral de
é
, portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltar para a variável original
substituindo
:
Observação: a solução vale para
, como já notado.
Passo 7
Verificação rápida (diferenciação): derivar a resposta para confirmar que recuperamos o integrando.
Calcular
Calcular
que é exatamente o integrando. Logo a primitiva está correta.
Passo 8
Dica prática para a prova (resumo rápido): quando vir integrais do tipo
ou
, pense em
; calcular
costuma simplificar muito. Aqui a identificação de
foi a chave.