6{ }^{\text {a) }} Calcule as integrais a seguir usando técnicas de integração por substituição ou por partes:
\int y^{-3} e^{1 / y^{2}} d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int y^{-3} e^{1 / y^{2}} \, dy.
Informações relevantes que temos:
  • A variável de integração é y.
  • O integrando é o produto de y^{-3} e e^{1/y^{2}}.
  • A integral é indefinida (devemos incluir a constante de integração C).
  • Note que y\neq0 porque aparece 1/y^{2}.

Passo 2

Ideia de método (substituição): procurar dentro do integrando uma função cujo derivada aparece multiplicando-a. Aqui aparece e^{1/y^{2}}; a função interna é 1/y^{2}. Vamos verificar a derivada de 1/y^{2}:
\frac{d}{dy}\!\left(\frac{1}{y^{2}}\right)=\frac{d}{dy}\!\left(y^{-2}\right)=-2y^{-3}.
Ou seja, a derivada de 1/y^{2} é -2y^{-3}. Isso sugere a substituição
u=\frac{1}{y^{2}}.

Passo 3

Computar du e isolar y^{-3}dy. Derivando u em relação a y:
du = \frac{d}{dy}\!\left(\frac{1}{y^{2}}\right)\,dy = -2y^{-3}\,dy.
Isolando y^{-3}\,dy obtemos
y^{-3}\,dy = -\tfrac{1}{2}\,du.

Passo 4

Fazer a substituição na integral. Substituindo u=\dfrac{1}{y^{2}} e y^{-3}\,dy=-\tfrac{1}{2}du temos
\int y^{-3} e^{1/y^{2}}\,dy = \int e^{u}\left(-\tfrac{1}{2}\,du\right) = -\tfrac{1}{2}\int e^{u}\,du.
Aqui puxei a constante -\tfrac{1}{2} para fora da integral, que é uma operação válida.

Passo 5

Integrar em u. A integral de e^{u} é e^{u}, portanto
-\tfrac{1}{2}\int e^{u}\,du = -\tfrac{1}{2}e^{u} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltar para a variável original y substituindo u=\dfrac{1}{y^{2}}:
-\tfrac{1}{2}e^{u}+C = -\tfrac{1}{2}e^{1/y^{2}} + C.
Observação: a solução vale para y\neq0, como já notado.

Passo 7

Verificação rápida (diferenciação): derivar a resposta para confirmar que recuperamos o integrando.
Calcular
\frac{d}{dy}\!\left(-\tfrac{1}{2}e^{1/y^{2}}\right) = -\tfrac{1}{2} e^{1/y^{2}}\cdot\frac{d}{dy}\!\left(\frac{1}{y^{2}}\right) = -\tfrac{1}{2} e^{1/y^{2}}\cdot(-2y^{-3}) = y^{-3} e^{1/y^{2}},
que é exatamente o integrando. Logo a primitiva está correta.

Passo 8

Dica prática para a prova (resumo rápido): quando vir integrais do tipo \int f'(g(y))\,e^{g(y)}\,dy ou \int g'(y)\,F(g(y))\,dy, pense em u=g(y); calcular du costuma simplificar muito. Aqui a identificação de g(y)=1/y^{2} foi a chave.

Resposta

-\tfrac{1}{2}e^{1/y^{2}} + C

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