6{ }^{\text {a) }} Calcule as integrais a seguir usando técnicas de integração por substituição ou por partes:
\int \operatorname{arcsen}(3 t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva (integral indefinida)
\int \arcsin(3t)\,dt.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \arcsin(3t).
  • Queremos encontrar uma função F(t) tal que F'(t)=\arcsin(3t).
    Nada mais foi fornecido, então vamos escolher uma técnica adequada para obter uma primitiva.

Passo 2

Escolha do método. Uma boa estratégia quando aparece uma função composta cujo primitivo direta não é óbvia (como \arcsin(3t)) é usar integração por partes, aplicando a fórmula
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Intuição para a escolha: tomar u como a função mais complicada cuja derivada simplifica (aqui \arcsin(3t)) e dv como o resto ( dt), porque dv=dt tem primitiva simples v=t. Assim escolhemos
u=\arcsin(3t),\qquad dv=dt.

Passo 3

Calcular du e v.
  • Derivada de \arcsin(x) é \dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}. Aplicando regra da cadeia para x=3t,
\frac{d}{dt}\big(\arcsin(3t)\big)=\frac{1}{\sqrt{1-(3t)^{2}}}\cdot 3=\frac{3}{\sqrt{1-9t^{2}}}.
Logo
du=\frac{3}{\sqrt{1-9t^{2}}}\,dt.
  • De dv=dt vem v=t.
Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int \arcsin(3t)\,dt = t\arcsin(3t) - \int t\cdot\frac{3}{\sqrt{1-9t^{2}}}\,dt.
Escrevendo o termo a integrar de forma mais simples:
\int \arcsin(3t)\,dt = t\arcsin(3t) - 3\int \frac{t}{\sqrt{1-9t^{2}}}\,dt.

Passo 4

Calcular o integral auxiliar 3\int \dfrac{t}{\sqrt{1-9t^{2}}}\,dt por substituição. Faça a troca
s=1-9t^{2}\qquad\Rightarrow\qquad ds=-18t\,dt,
portanto
t\,dt = -\frac{1}{18}\,ds.
Substituindo,
3\int \frac{t}{\sqrt{1-9t^{2}}}\,dt = 3\int \frac{t}{\sqrt{s}}\,dt = 3\int \frac{-1}{18}\, s^{-1/2}\,ds = -\frac{1}{6}\int s^{-1/2}\,ds.
Agora integrar s^{-1/2}:
\int s^{-1/2}\,ds = 2 s^{1/2}.
Logo
3\int \frac{t}{\sqrt{1-9t^{2}}}\,dt = -\frac{1}{6}\cdot 2 s^{1/2} + C = -\frac{1}{3}\sqrt{s} + C.
Voltando a t (pois s=1-9t^{2}):
3\int \frac{t}{\sqrt{1-9t^{2}}}\,dt = -\frac{1}{3}\sqrt{1-9t^{2}} + C.

Passo 5

Substituir o resultado do integral auxiliar na expressão obtida pela integração por partes:
\int \arcsin(3t)\,dt = t\arcsin(3t) - \Big(-\frac{1}{3}\sqrt{1-9t^{2}}\Big) + C.
Simplificando,
\int \arcsin(3t)\,dt = t\arcsin(3t) + \frac{1}{3}\sqrt{1-9t^{2}} + C.
Verificação rápida (checar derivada): derivando a primitiva encontrada
\frac{d}{dt}\!\left(t\arcsin(3t) + \frac{1}{3}\sqrt{1-9t^{2}}\right) = \arcsin(3t) + t\cdot\frac{3}{\sqrt{1-9t^{2}}} + \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-9t^{2}}}\cdot(-18t),
o último termo vale -\dfrac{3t}{\sqrt{1-9t^{2}}}, que cancela o termo intermediário, sobrando exatamente \arcsin(3t). Está correto.

Passo 6

Mandou bem por chegar até aqui! A técnica principal usada foi integração por partes mais uma substituição simples; é um padrão que vale memorizar para funções inversas como \arcsin, \arctan etc.: escolher a função inversa como u e dt como dv.

Resposta

t\arcsin(3t)+\dfrac{1}{3}\sqrt{1-9t^{2}}+C

Exercícios relacionados