Calcule as integrais a seguir usando técnicas de integração por substituição ou por partes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a primitiva (integral indefinida)
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Queremos encontrar uma função
tal que .
Nada mais foi fornecido, então vamos escolher uma técnica adequada para obter uma primitiva.
Passo 2
Escolha do método. Uma boa estratégia quando aparece uma função composta cujo primitivo direta não é óbvia (como
) é usar integração por partes, aplicando a fórmula
Intuição para a escolha: tomar
como a função mais complicada cuja derivada simplifica (aqui
) e
como o resto (
), porque
tem primitiva simples
. Assim escolhemos
Passo 3
Calcular
e
.
- Derivada de
é . Aplicando regra da cadeia para ,
Logo
- De
vem .
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Escrevendo o termo a integrar de forma mais simples:
Passo 4
Calcular o integral auxiliar
por substituição. Faça a troca
portanto
Substituindo,
Agora integrar
:
Logo
Voltando a
(pois
):
Passo 5
Substituir o resultado do integral auxiliar na expressão obtida pela integração por partes:
Simplificando,
Verificação rápida (checar derivada): derivando a primitiva encontrada
o último termo vale
, que cancela o termo intermediário, sobrando exatamente
. Está correto.
Passo 6
Mandou bem por chegar até aqui! A técnica principal usada foi integração por partes mais uma substituição simples; é um padrão que vale memorizar para funções inversas como
,
etc.: escolher a função inversa como
e
como
.