Para cada equação diferencial abaixo, determine o tipo (EDO ou EDP), a ordem e o grau.
3.
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Passo 1
O enunciado fornece a equação
e pede que determinemos:
- o tipo (EDO ou EDP);
- a ordem;
- o grau.
As informações relevantes que temos são exatamente os termos presentes na equação acima: a derivada indicada por
, o produto
e o termo do lado direito
.
Passo 2
O que significa ser EDO ou EDP (explicação passo a passo e exemplos rápidos)?
- Uma equação diferencial ordinária (EDO) envolve derivadas ordinárias de uma função de uma única variável independente, normalmente escritas como
, , , etc. Exemplo: é uma EDO. - Uma equação diferencial parcial (EDP) envolve derivadas parciais de uma função de duas ou mais variáveis independentes, escritas como
, , , etc. Exemplo: é uma EDP.
Aplicando isto ao nosso caso: como a equação usa(derivada ordinária) e só aparece uma variável independente implícita , trata-se de uma EDO.
Passo 3
O que é a ordem de uma equação diferencial e como achar aqui?
- Definição: a ordem é o maior número de derivada que aparece na equação. Ou seja, conta-se a derivada de maior grau (primeira, segunda, terceira, …).
- Na equação dada aparecem apenas
(a derivada de primeira ordem). Não há nem derivadas de ordem superior.
Logo, a ordem dessa equação é.
Passo 4
O que é o grau de uma equação diferencial e como calcular?
- Definição: o grau é o expoente (grau do polinômio) da maior derivada, depois que a equação foi limpa de fatores não polinomiais em derivadas e escrita como um polinômio em termos das derivadas. Isso só faz sentido se a equação for polinomial nas derivadas; se houver potências fracionárias, raízes, funções transcendentes (como
, ) envolvendo as derivadas, diz-se que o grau não está definido. - Procedimento prático: isolar ou reescrever a equação de forma que apareça como polinômio em
e observar o expoente do termo de maior ordem.
No nosso caso a equação já está linear e polinomial em. Podemos reescrevê-la como
onde
aparece com potência
. Não há raízes, frações ou funções não‑polinomiais aplicadas a
. Portanto o grau é
.
Passo 5
Observações úteis para a prova (como identificar rápido):
- Procure por notação de derivada:
, → EDO. Procure por , , → EDP. - A ordem é simplesmente a maior derivada que aparecer.
- O grau: verifique se a equação é polinomial nas derivadas; se for, o grau é o expoente da maior derivada; se não for polinomial, o grau não existe (não é definido).
- Exemplos rápidos para treinar:
-
→ ordem , grau . -
→ ordem , grau não definido (por causa da raiz). -
→ ordem , grau não definido (função trigonométrica da derivada).
-
Resposta
EDO, ordem
, grau