Para cada equação diferencial abaixo, determine o tipo (EDO ou EDP), a ordem e o grau.
3. y^{\prime}+x y=x^{2}

Passo 1

O enunciado fornece a equação
y'+x\,y=x^{2}
e pede que determinemos:
  • o tipo (EDO ou EDP);
  • a ordem;
  • o grau.
As informações relevantes que temos são exatamente os termos presentes na equação acima: a derivada indicada por y', o produto x\,y e o termo do lado direito x^{2}.

Passo 2

O que significa ser EDO ou EDP (explicação passo a passo e exemplos rápidos)?
  • Uma equação diferencial ordinária (EDO) envolve derivadas ordinárias de uma função de uma única variável independente, normalmente escritas como y', y'', \dfrac{dy}{dx}, etc. Exemplo: \;y''+y=0\; é uma EDO.
  • Uma equação diferencial parcial (EDP) envolve derivadas parciais de uma função de duas ou mais variáveis independentes, escritas como u_x, u_{yy}, \dfrac{\partial u}{\partial x}, etc. Exemplo: \;u_{xx}+u_{tt}=0\; é uma EDP.
    Aplicando isto ao nosso caso: como a equação usa y' (derivada ordinária) e só aparece uma variável independente implícita x, trata-se de uma EDO.

Passo 3

O que é a ordem de uma equação diferencial e como achar aqui?
  • Definição: a ordem é o maior número de derivada que aparece na equação. Ou seja, conta-se a derivada de maior grau (primeira, segunda, terceira, …).
  • Na equação dada aparecem apenas y' (a derivada de primeira ordem). Não há y'' nem derivadas de ordem superior.
    Logo, a ordem dessa equação é 1.

Passo 4

O que é o grau de uma equação diferencial e como calcular?
  • Definição: o grau é o expoente (grau do polinômio) da maior derivada, depois que a equação foi limpa de fatores não polinomiais em derivadas e escrita como um polinômio em termos das derivadas. Isso só faz sentido se a equação for polinomial nas derivadas; se houver potências fracionárias, raízes, funções transcendentes (como \sin(y'), \exp(y')) envolvendo as derivadas, diz-se que o grau não está definido.
  • Procedimento prático: isolar ou reescrever a equação de forma que apareça como polinômio em y^{(n)} e observar o expoente do termo de maior ordem.
    No nosso caso a equação já está linear e polinomial em y'. Podemos reescrevê-la como
y' = x^{2}-x\,y,
onde y' aparece com potência 1. Não há raízes, frações ou funções não‑polinomiais aplicadas a y'. Portanto o grau é 1.

Passo 5

Observações úteis para a prova (como identificar rápido):
  • Procure por notação de derivada: y', y'' → EDO. Procure por u_x, u_{xy}, \partial → EDP.
  • A ordem é simplesmente a maior derivada que aparecer.
  • O grau: verifique se a equação é polinomial nas derivadas; se for, o grau é o expoente da maior derivada; se não for polinomial, o grau não existe (não é definido).
  • Exemplos rápidos para treinar:
    • \;y''+3y=0\; → ordem 2, grau 1.
    • \;(y')^{1/2}+y=0\; → ordem 1, grau não definido (por causa da raiz).
    • \;\sin(y'')+y=0\; → ordem 2, grau não definido (função trigonométrica da derivada).

Resposta

EDO, ordem 1, grau 1

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