6{ }^{\text {a) }} Calcule as integrais a seguir usando técnicas de integração por substituição ou por partes:
\int \frac{(\ln 2 x)^{3}}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{(\ln 2 x)^{3}}{x}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \dfrac{(\ln 2 x)^{3}}{x}.
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (ou seja, resolver a integral indefinida) e fornecer a constante de integração.

Passo 2

Ideia-chave (explicando o método de substituição de forma didática).
  • Quando a expressão a integrar tem uma função composta do tipo (\text{algo})^{n} e aparece multiplicada pela derivada desse “algo”, é natural usar a substituição u=\text{algo}. Isso funciona por causa da regra da cadeia: se u=g(x) então du=g'(x)\,dx, e a integral em x pode virar uma integral simples em u.
  • Aqui o “algo” dentro do expoente é \ln 2 x. Vamos testar a substituição
u=\ln 2 x.
Agora calculamos du. Usando a derivada de \ln(2x): a derivada de \ln(2x) em relação a x é \dfrac{1}{x} (pois \dfrac{d}{dx}\ln(2x)=\dfrac{1}{2x}\cdot 2=\dfrac{1}{x}). Assim,
du=\frac{1}{x}\,dx.
Portanto o diferencial \dfrac{1}{x}\,dx presente na integral é exatamente du.

Passo 3

Fazendo a substituição na integral.
  • Substituindo u=\ln 2 x e du=\dfrac{1}{x}\,dx na integral original obtemos uma integral em u bem simples:
\int \frac{(\ln 2 x)^{3}}{x}\,dx = \int u^{3}\,du.
  • Agora integramos u^{3} usando a regra básica da potenciação para primitivas: a primitiva de u^{n} (com n\neq -1) é \dfrac{u^{n+1}}{n+1}. Aplicando com n=3 obtemos
\int u^{3}\,du = \frac{u^{4}}{4} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Volta à variável original (retro-substituição) e conclusão.
  • Substituindo de volta u=\ln 2 x obtemos a primitiva em termos de x:
\frac{u^{4}}{4}+C = \frac{(\ln 2 x)^{4}}{4} + C.
  • Portanto a integral foi calculada e a resposta é \dfrac{(\ln 2 x)^{4}}{4}+C.

Passo 5

Observações e generalização rápida (útil para prova).
  • O passo que fizemos usa apenas que \dfrac{d}{dx}\ln(2x)=\dfrac{1}{x}. Em geral, para qualquer constante positiva a,
\int \frac{(\ln a x)^{n}}{x}\,dx = \frac{(\ln a x)^{n+1}}{n+1} + C,
para n\neq -1. A técnica é sempre a mesma: faça u=\ln a x, então du=\dfrac{1}{x}\,dx.
  • Isso é prático na prova: ao ver (\ln(\text{algo}))^{n}/x, verifique se o diferencial do “algo” aparece (ou reduz-se a \tfrac{1}{x}\,dx); se sim, substituição direta economiza tempo.

Resposta

\frac{(\ln 2 x)^{4}}{4} + C

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