Calcule as integrais a seguir usando técnicas de integração por substituição ou por partes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - O objetivo é encontrar uma primitiva (ou seja, resolver a integral indefinida) e fornecer a constante de integração.
Passo 2
Ideia-chave (explicando o método de substituição de forma didática).
- Quando a expressão a integrar tem uma função composta do tipo
e aparece multiplicada pela derivada desse “algo”, é natural usar a substituição . Isso funciona por causa da regra da cadeia: se então , e a integral em pode virar uma integral simples em . - Aqui o “algo” dentro do expoente é
. Vamos testar a substituição
Agora calculamos
. Usando a derivada de
: a derivada de
em relação a
é
(pois
). Assim,
Portanto o diferencial
presente na integral é exatamente
.
Passo 3
Fazendo a substituição na integral.
- Substituindo
e na integral original obtemos uma integral em bem simples:
- Agora integramos
usando a regra básica da potenciação para primitivas: a primitiva de (com ) é . Aplicando com obtemos
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Volta à variável original (retro-substituição) e conclusão.
- Substituindo de volta
obtemos a primitiva em termos de :
- Portanto a integral foi calculada e a resposta é
.
Passo 5
Observações e generalização rápida (útil para prova).
- O passo que fizemos usa apenas que
. Em geral, para qualquer constante positiva ,
para
. A técnica é sempre a mesma: faça
, então
.
- Isso é prático na prova: ao ver
, verifique se o diferencial do “algo” aparece (ou reduz-se a ); se sim, substituição direta economiza tempo.