6{ }^{\text {a) }} Calcule as integrais a seguir usando técnicas de integração por substituição ou por partes:
\int \operatorname{sen}^{4} 5 x \cdot \cos 5 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \operatorname{sen}^{4}5x\cdot\cos5x\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • A função integranda é \operatorname{sen}^{4}5x\cdot\cos5x.
  • Deve-se calcular uma primitiva (integral indefinida), então a resposta terá uma constante de integração C.
    O objetivo é encontrar uma antiderivada explícita desta função.

Passo 2

Observação útil para escolher o método: quando a integranda é uma potência de \sin multiplicada por \cos com o mesmo argumento, uma substituição do tipo u=\sin(\cdot) costuma simplificar, pois a derivada de \sin envolve \cos. Vou usar a substituição:
u=\sin(5x).
Agora explico a ideia da substituição: se u=g(x), então du=g'(x)\,dx. Substituir transforma a integral em uma em u, muitas vezes mais simples.

Passo 3

Calcule du a partir de u=\sin(5x):
du=\frac{d}{dx}\big(\sin(5x)\big)\,dx=\big(\cos(5x)\cdot 5\big)\,dx=5\cos(5x)\,dx.
Isolando \cos(5x)\,dx obtemos:
\cos(5x)\,dx=\frac{1}{5}\,du.

Passo 4

Substitua na integral original: como \sin(5x)=u temos \sin^{4}(5x)=u^{4}, e \cos(5x)\,dx=\frac{1}{5}du. Assim
\int \operatorname{sen}^{4}5x\cdot\cos5x\,dx = \int u^{4}\cdot\frac{1}{5}\,du = \frac{1}{5}\int u^{4}\,du.
Agora uso a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.

Passo 5

Aplicando a regra com n=4:
\frac{1}{5}\int u^{4}\,du=\frac{1}{5}\cdot\frac{u^{5}}{5}+C=\frac{u^{5}}{25}+C.
Voltando à variável original x (retro-substituição), lembrando que u=\sin(5x):
\frac{u^{5}}{25}+C=\frac{\sin^{5}(5x)}{25}+C.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, mas boa prática): derivando a resposta para checar que volta à integranda.
\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin^{5}(5x)}{25}\right) =\frac{1}{25}\cdot 5\sin^{4}(5x)\cdot\cos(5x)\cdot 5 =\sin^{4}(5x)\cos(5x),
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{\sin^{5}(5x)}{25}+C

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