Calcule as integrais a seguir usando técnicas de integração por substituição ou por partes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações relevantes dadas:
- A função integranda é
. - Deve-se calcular uma primitiva (integral indefinida), então a resposta terá uma constante de integração
.
O objetivo é encontrar uma antiderivada explícita desta função.
Passo 2
Observação útil para escolher o método: quando a integranda é uma potência de
multiplicada por
com o mesmo argumento, uma substituição do tipo
costuma simplificar, pois a derivada de
envolve
. Vou usar a substituição:
Agora explico a ideia da substituição: se
, então
. Substituir transforma a integral em uma em
, muitas vezes mais simples.
Passo 3
Calcule
a partir de
:
Isolando
obtemos:
Passo 4
Substitua na integral original: como
temos
, e
. Assim
Agora uso a regra de potência para integrais: para
,
Passo 5
Aplicando a regra com
:
Voltando à variável original
(retro-substituição), lembrando que
:
Passo 6
Verificação rápida (opcional, mas boa prática): derivando a resposta para checar que volta à integranda.
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.