Calcule as integrais a seguir usando técnicas de integração por substituição ou por partes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes do enunciado:
- É uma integral indefinida (procura-se uma primitiva).
- A função integranda é
. - O enunciado sugere usar técnicas de integração por substituição ou por partes (não é obrigatório usar as duas, apenas uma delas).
Passo 2
Escolha do método e por que ele é natural aqui.
Observação prática: quando a derivada de uma expressão simples aparece multiplicando a integral, muitas vezes a substituição é a forma mais direta. No integrando temos
e
. A derivada de
é
, que é proporcional a
presente no numerador. Isso sinaliza que a substituição
é adequada porque transforma a raiz em potência simples e permite eliminar
em favor de
. Vou usar essa substituição.
Passo 3
Aplico a substituição explicitamente e mostro como trocar os diferenciais.
Defino
Calculo a diferencial de
em relação a
:
Daí isolamos
:
Passo 4
Reescrevo a integral original em termos de
.
A raiz fica
. Substituindo
obtemos:
Passo 5
Integro em
usando a regra das potências.
Regra: para
,
Aqui
, logo
Como
, isso simplifica para
Passo 6
Volto à variável original
.
Lembre que
, então
Portanto a primitiva encontrada é
Passo 7
Verificação rápida derivando a resposta (checar é sempre uma boa prática).
Derivo
:
que é exatamente a integranda. Logo a primitiva está correta.