6{ }^{\text {a) }} Calcule as integrais a seguir usando técnicas de integração por substituição ou por partes:
\int \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx.
Informações relevantes do enunciado:
  • É uma integral indefinida (procura-se uma primitiva).
  • A função integranda é \dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}.
  • O enunciado sugere usar técnicas de integração por substituição ou por partes (não é obrigatório usar as duas, apenas uma delas).

Passo 2

Escolha do método e por que ele é natural aqui.
Observação prática: quando a derivada de uma expressão simples aparece multiplicando a integral, muitas vezes a substituição é a forma mais direta. No integrando temos x e \sqrt{1+x^{2}}=(1+x^{2})^{1/2}. A derivada de 1+x^{2} é 2x, que é proporcional a x presente no numerador. Isso sinaliza que a substituição
u=1+x^{2}
é adequada porque transforma a raiz em potência simples e permite eliminar x\,dx em favor de du. Vou usar essa substituição.

Passo 3

Aplico a substituição explicitamente e mostro como trocar os diferenciais.
Defino
u = 1+x^{2}.
Calculo a diferencial de u em relação a x:
\frac{du}{dx} = 2x \quad\Rightarrow\quad du = 2x\,dx.
Daí isolamos x\,dx:
x\,dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 4

Reescrevo a integral original em termos de u.
A raiz fica \sqrt{1+x^{2}} = \sqrt{u} = u^{1/2}. Substituindo \,x\,dx = \dfrac{1}{2}\,du obtemos:
\int \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx = \int \frac{1}{u^{1/2}}\cdot\left(\frac{1}{2}\,du\right) = \frac{1}{2}\int u^{-1/2}\,du.

Passo 5

Integro em u usando a regra das potências.
Regra: para a\neq -1,
\int u^{a}\,du = \frac{u^{a+1}}{a+1}+C.
Aqui a=-\tfrac{1}{2}, logo
\frac{1}{2}\int u^{-1/2}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{(-1/2)+1}}{(-1/2)+1}+C = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{1/2}}{1/2}+C.
Como \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{1/2}=1, isso simplifica para
u^{1/2}+C.

Passo 6

Volto à variável original x.
Lembre que u=1+x^{2}, então
u^{1/2} = \sqrt{1+x^{2}}.
Portanto a primitiva encontrada é
\sqrt{1+x^{2}}+C.

Passo 7

Verificação rápida derivando a resposta (checar é sempre uma boa prática).
Derivo F(x)=\sqrt{1+x^{2}}=(1+x^{2})^{1/2}:
F'(x)=\frac{1}{2}(1+x^{2})^{-1/2}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}},
que é exatamente a integranda. Logo a primitiva está correta.

Resposta

\sqrt{1+x^{2}}+C

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